Całkowalność Przemysław:

	⎧	0 − x wymierne
f(x)=	⎨
	⎩	1 − x niewymierne

Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś mi rozpisał, dlaczego ta funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna (przy użyciu dolnej i górnej sumy Darboux).

Godzio: Przyjmujemy: Δx_i = x_{i − 1} − x_i, x₀ = 0, x_n = 1 Najpierw suma dolna. f(ξ_i) to kres dolny zbioru (można myśleć, że to najmniejsza wartość). Na dowolnym odcinku Δx_i znajdziemy liczbę wymierną i niewymierną więc kres dolny będzie zawsze równy 0. s_n = ∑_i=1ⁿf(ξ_i}Δx_i = 0 Suma górna. Tym razem f(ξ_i) to kres górny, który jest równy 1 S_n = ∑_i=1ⁿf(ξ_i}Δx_i = ∑Δx_i = = x₁ − x₀ + x₂ − x₁ + .... + x_n−1 − x_{n − 2} + x_n − x_{n − 1} = x_n − x₀ = 1 − 0 = 1 Sumy są różne, funkcja nie jest całkowalna

Przemysław: Gdyby przyjąć x₀=1, to wtedy musi być x₀=0? Jeżeli tak, to czemu?

Przemysław: "(...)to wtedy musi być x_n=0"

Godzio: Zrobiłem to trochę odruchowo, nie miałeś podanego przedziału konkretnego? Generalnie można się skupić na odcinku [0,1] (ja tak zrobiłem), bo przez skalowanie można rozszerzyć na dowolne przedziały ...

Godzio: Mamy odcinek [0,1] i funkcje zadaną takim wzorem jak masz podany. Stąd x₀ = 0 i x_n = 1.

Przemysław: Jeżeli odcinek [0,1] to pierwsza i ostatnia liczba jest wymierna chyba?

Godzio: Tak, ale to nie są wartości tylko punkty na osi OX

Przemysław: A racja! No dobra, czyli mamy, że jest niecałkowalna na odcinku. I niby widać, że wszędzie będzie to samo, ale jakoś to formalnie zapisać pewnie wypadałoby

Godzio: Uogólnienie, to samo tylko z drobną różnicą: S_n = x_n − x₀ ≠ 0 i tyle

Przemysław: Tzn. pisałeś coś o skalowaniu, ale co masz na myśli?

Przemysław: 21:41 napisałem, zanim zobaczyłem.

Godzio:

Przemysław: No dobra, jasne. Bo żeby x_n−x₀=0, to musiałoby x_n=x₀, czyli jakby długość punktu

Przemysław: Dziękuję Ci bardzo