Calka 1/(x^2+1)^3 Maverick: Hej mam problem z nastepujaca calka:

1
	chcialem rozbic na ulamki proste, nic nie wyszlo nie wiem czy nie robie tego
(x2+1)3

	ax+b		cx+d		ex+f
zle :		+		+		bede bardzo wdzieczny za pomoc
	(x2+1)3		(x2+1)2		(x2+1)

ZKS: x = tg(u) ⇒ dx = [tg²(u) + 1]du

	du		[cos(2u) + 1]2
∫		= ∫ cos4(u)du = ∫		du =
	[tg2(u) + 1]2		4

1		1		1
	∫ cos2(2u)du +		∫ cos(2u)du +		∫ du
4		2		4

1		cos(4u) + 1		1		1
	∫		+		sin(2u) +		u =
4		2		4		4

1		1		1		1
	sin(4u) +		u +		sin(2u) +		u =
32		8		4		4

1		1		3
	sin[4arctg(x)] +		sin[2arctg(x)] +		arctg(x) + C
32		4		8

ZKS: Można jeszcze tak zapisać.

x − x3		x		3
	+		+		arctg(x) + C =
8(x2 + 1)2		2(x2 + 1)		8

3x3 + 5x		3
	+		arctg(x) + C
8(x2 + 1)2		8

Mariusz:

	1		1+x2−x2
∫		dx=∫
	(x2+1)3		(x2+1)3

	1		x	(−4x)
=∫		dx+∫			dx
	(x2+1)2		4	(x2+1)3

	1		1	x		1		1
=∫		dx+			−		∫
	(x2+1)2		4	(x2+1)2		4		(x2+1)2

	1	x		3		1
=			+		∫
	4	(x2+1)2		4		(x2+1)2

	1		1+x2−x2
∫		dx=∫		dx
	(x2+1)2		(x2+1)2

	1		x	(−2x)
=∫		dx+∫			dx
	(x2+1)		2	(x2+1)2

	1		1	x		1		1
=∫		dx+			−		∫		dx
	(x2+1)		2	x2+1		2		(x2+1)

	1	x		1		1
=			+		∫		dx
	2	x2+1		2		(x2+1)

	1		1	x		3		1	x		1		1
∫		dx=			+		(			+		∫		dx)
	(x2+1)3		4	(x2+1)2		4		2	x2+1		2		(x2+1)

	1		1	x		3	x		3		1
∫		dx=			+			+		∫		dx
	(x2+1)3		4	(x2+1)2		8	x2+1		8		(x2+1)

	1		1	x		3	x		3
∫		dx=			+			+		arctan(x)+C
	(x2+1)3		4	(x2+1)2		8	x2+1		8

Mariusz:

	1
∫		dx
	(x2+1)3

	1
t=
	x

	1
dt=−		dx
	x2

dt=−t²dx

	dt
dx=−
	t2

	1	dt
−∫
	1   (1+ )3   t2	t2

	1	dt
−∫
	t2+1   ( )3   t2	t2

	t6	dt
−∫
	(t2+1)3	t2

	t4
−∫		dt
	(t2+1)3

	t3	(−4t)
∫			dt
	4	(t2+1)3

1	t3		3		t2
		−		∫		dt
4	(t2+1)2		4		(t2+1)2

1	t3		3		t	(−2t)
		+		∫			dt
4	(t2+1)2		4		2	(t2+1)2

1	t3		3		1	t		1		1
		+		(			−		∫		dt)
4	(t2+1)2		4		2	t2+1		2		t2+1

1	t3		3	t		3		1
		+			−		∫		dt
4	(t2+1)2		8	t2+1		8		t2+1

1	1	1		3	1	1
			+				−U{3}
4	x3	1   ( +1)2   x2		8	x	1   ( +1)   x2

	1
{8}arctan(		)+C
	x

1	1	x4		3	1	x2		3
			+				+		arctan(x)+C
4	x3	(x2+1)2		8	x	x2+1		8

	1		1	x		3	x		3
∫		dx=			+			+		arctan(x)+C
	(x2+1)3		4	(x2+1)2		8	x2+1		8

ZKS: Z podstawieniem chyba trochę łatwiej idzie.

ZKS: Oczywiście chodzi mi o podstawienie x = tg(u). To typowa całka na takie podstawienie.

Mariusz: Ja na lekcji nie miałem wzoru redukcyjnego ale mając liniowość całki oraz całkowanie przez części sam sobie wyprowadziłem ten wzór

Mariusz: Tak całkujesz po amerykańskiemu Typowy jest wzór redukcyjny

Mariusz: Tak samo w przypadku całek z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego Typowymi podstawieniami są podstawienia Eulera Pierwsze i trzecie wystarczą chociaż drugie jest najbardziej ogólne bo można zawsze przesunąć x jeśli tylko trójmian kwadratowy przyjmuje wartości dodatnie dla pewnych x

ZKS: Dobra lecę spać, bo trzeba wcześnie wstać i pouczyć się na egzamin. Dobranoc.

Mariusz: W przypadku większych potęg też musiałbyś trochę policzyć chyba że skorzystasz z zespolonych no i jeszcze powrót do poprzedniej zmiennej a wzór redukcyjny jest wygodny w użyciu Skoro korzystać z zespolonych w zespolonych można rozłożyć mianownik na czynniki liniowe i skorzystać z rozkładu na sumę ułamków prostych Maverick jeśli koniecznie chcesz z rozkładu na sumę ułamków prostych skorzystać to rozkładaj nad zespolonymi

Mariusz:

1		1
	=
(x2+1)3		(x+j)3(x−j)3

1		A		B		C
	=		+		+		+
(x+j)3(x−j)3		x−j		(x−j)2		(x−j)3

D		E		F
	+		+
x+j		(x+j)2		(x−j)3

Maverick: Dzieki wielkie za pomoc