ciąg geometryczny Kamil: iloczyn dziesięciu poczatkowych wyrazów o numerach parzystych rosnącego ciągu geometrycznego (an) jest 32 razy wiekszy od iloczynu dziesieciu początkowych wyrazów o numerach nieparzystych. Oblicz a6, jeżeli suma kwadratów wyrazów pierwszego i drugiego jest równa 30. Zadanie na jutro, a ja nie mam żadnego pomysłu

Janek191: a₁² + a₂² = 30 a₁² + ( a₁ q)² = 30 x = a₂*a₄* ... *a₂₀ = a₁q * a₁ q³ * ...* a₁ q¹⁹ = (a₁)¹⁰*q ^{1 + 3 + ... + 19} oraz y = a₁*a₃* ... * a₁₉ = a₁* a₁ q² * ... * a₁ q¹⁸ = (a₁)¹⁰*q^{2 + 4 + .. + 18} x = 32 y Dokończ

Kamil: Hmm jaki jest następny krok? Podstawić x = a2*a4* ... *a20 = a1q * a1 q3 * ...* a1 q19 = (a1)10*q 1 + 3 + ... + 19 oraz y = a1*a3* ... * a19 = a1* a1 q2 * ... * a1 q18 = (a1)10*q2 + 4 + .. + 18 do tego x= 32y? A nastepnie podzielić obie strony przez y?

Janek191: Trzeba obliczyć: 1 + 3 + ... + 19 oraz 2 + 4 + ... + 18

Janek191: 0,5*( 1 + 19}*10 = 5*20 = 100 0,5*( 2 + 18}*9 = 90 Mamy zatem x = (a₁)¹⁰*q¹⁰⁰ y = ( a₁)¹⁰*q⁹⁰ oraz x = 32 y (a₁)¹⁰*q¹⁰⁰ = 32*(a₁)¹⁰*q⁹⁰ / : (a₁)¹⁰ *q⁹⁰ q¹⁰ = 32 q = √2 ====== Wracamy do I równania (a₁)² + (a₁ q)² = 30 czyli (a₁)² + (a₁)² *q² = 30 (a₁)²*[ 1 + q²] = 30 ale q² = 2 , więc (a₁)²*[ 1 + 2] = 30 / : 3 (a₁)² = 10 a₁ = √10 ========== i dlatego a₆ = a₁*q⁵ = √10*(√2)⁵ = √10*4√2 = 4 √10*2 = 4 √ 4*5 = 8√5 a₆ = 8√5 =========