parametry Asmander: Dla jakich wartości parametru m (m∊R) równanie x⁴ +(m+1)x² m² +6m +9=0 ma dwa różne rozwiązania

Metis: Δ>0

Metis: I podstawienie x²=t

ZKS: To za mało.

Metis: Δ>0 t=x² , t≥0 Coś jeszcze?

Ja: Δ=0 i t>0

ZKS: Mamy mieć dwa różne rozwiązania. Wprowadzamy nową zmienną x² = t i otrzymujemy równanie t² + (m + 1)t + m² + 6m + 9 = 0. Teraz musi rozpatrzeć dwa przypadki. 1^o Δ = 0 ∧ t_o > 0 2^o Δ > 0 ∧ t₁t₂ < 0

Metis: Nie przemyślałem tego −dzięki,że czuwasz ZKS

ZKS: Od czasu do czasu zerknę. Nie ma sprawy. Wiadomo dlaczego takie warunki?

Metis: Jeżeli chodzi o mnie, to tak rozumiem A pytający zadał i ... poszedł.

Asmander: Nie mogłem wczoraj tego rozwiązać czyli Δ>0 i widze że równa 0 Δ=0 t=x² t ≥ 0 więc t² + (m + 1)t + m2 + 6m + 9 = 0 czyli I Δ > 0 Δ=(m+1)² − 4*1*(m²+6m+9) >0 Δ=m² +2m + 1 −4m² −24m −36>0 Δ=−3m² −22m −35 >0 3m² +22m +35<0 Δ=484 −420=64 √Δ=8

	−22−8
t1=		=−5
	6

	−22 + 8		1
t2=		=−2
	6		3

	1
t∊(−5, −2		)
	3

I tutaj warunek drugi t1t2>0 czyli t1=−5 x²=−5 sprzeczność

	1
t2=−2
	3

sprzeczność II Δ=0 Δ=(m+1)² − 4*1*(m²+6m+9) =0 Δ=m² +2m + 1 −4m² −24m −36=0 Δ=−3m² −22m −35 =0 3m² +22m +35=0 Δ=484 −420 =64 √Δ=8

	−22−8
t1=		=−5
	6

	−22 + 8		1
t2=		=−2
	6		3

co robie nie tak?

Asmander: ja za bardzo nie rozumiem tego drugiego warunku, że : to > 0 i t1t2 < 0

ZKS: To się nazywa wyczucie czasu akurat wszedłem, ale zaraz wychodzę to spróbuję szybko wytłumaczyć. Warunek t₀ > 0 pierwiastek większy od zera. Trzeba użyć wzorów Viete'a

	−b
to + to > 0 ⇒ 2to > 0 ⇒ to > 0 [		> 0].
	a

Natomiast warunek t₁t₂ < 0 oznacza, że mamy pierwiastki różnych znaków jeden dodatni drugi ujemny. Też wykorzystujemy wzory i mamy

	c
t1t2 < 0 [		< 0].
	a

Rozumiesz?

ZKS: Ty tam liczysz m₁ oraz m₂ (parametr) nie zmienną zauważ to.

Ja: Drugi warunek wynika z tego ,że jeżeli x²=t to gdy jedno t jest ujemne a drugie dodatnie to masz dwa rozwiązania np t₁=−4 a t₂=9 to x²=−4 a x²=9 i tylko t>0 dwa rozwiązania

Asmander:

	−b		c
t0 =		t1 * t2 =
	2a		a

−m−1		m2+6m+9
	> 0 | *2		< 0
2		1

−m−1 > 0 (m+3)² < 0 −m > 1 m < −3 m < −1 czyli m∊(−∞, −3) m∊(−∞ ,−1) no i użyłem w tym zadaniu te wzory Viete'a No i w obu mi wyszły dwa miejsca zerowe < 0

ZKS: Widzę, że jest problem z podstawową wiedzą. (m + 3)² < 0 Jaka liczba m spełni tą nierówność?

Asmander: (m+3)² < 0 | pierwiastek |m+3| < 0 m ≥ −3 o to chodzi?

Asmander: aha i t₁ * t₂ jest sprzeczne tak?

ZKS: Sprawdź to podstawiając dowolną liczbę z Twojego przedziału.

ZKS: Tak. Nie ma takiej liczby m ∊ R, która spełni tę nierówność.

Asmander: to znaczy że ten 1 przypadek jest prawdziwy t₁ = −5

	1
t2 = −2
	3

	1
czyli m∊{−5, −2		}
	3

ZKS: Jeszcze raz powtarzam, że Ty masz parametr nie zmienną. Δ = (m + 1)² − 4(m² + 6m + 9) = (m + 1)² − [2(m + 3)]² = (m + 1 − 2m − 6)(m + 1 + 2m + 6) = −(m + 5)(3m +7)

	7
−(m + 5)(3m + 7) = 0 ⇒ m = −5 ∨ m = −
	3

Teraz warunek t_o > 0 ⇒ −(m + 1) > 0 ⇒ m < −1 bierzemy iloczyn tego rozwiązania i piszemy

	7
m ∊ {−5 ; −		}.
	3

	7
Zatem jedynie dla m ∊ {−5 ; −		} mamy dwa różne pierwiastki.
	3