ZKS:
Możemy wyliczyć to jak chcemy.
(
√5 + 2)
1/3 − (
√5 − 2)
1/3 = (2 +
√5)
1/3 + (2 −
√5)
1/3
Oznaczmy teraz sobie t
1 = (2 −
√5)
1/3 oraz t
2 = (2 +
√5)
1/3, wtedy
t
1 + t
2 = u
t
1t
2 = −1 ponieważ
(2 −
√5)
1/3 * (2 +
√5)
1/3 = [(2 −
√5)(2 +
√5)]
1/3 = (4 − 5)
1/3 = −1
zauważamy, że t
1 i t
2 to pierwiastki pewnego trójmianu kwadratowego, zatem
f(t) = t
2 − ut − 1.
t
2 − ut − 1 = 0
Δ = u
2 + 4
√Δ =
√u2 + 4
| u − √u2 + 4 | |
| = (2 − √5)1/3 |
| 2 | |
| u3 − 3u2√u2 + 4 + 3u(u2 + 4) − (u2 + 4)√u2 + 4 | |
| = 2 − √5. |
| 8 | |
Porównujemy teraz części wymierne.
u
3 + 3u
3 + 12u = 16
4u
3 + 12u − 16 = 0
u
3 + 3u − 4 = 0
u
3 − u + 4u − 4 = 0
u(u
2 − 1) + 4(u − 1) = 0
u(u + 1)(u − 1) + 4(u − 1) = 0
(u − 1)(u
2 + u + 4) = 0 ⇒ u = 1
u = t
1 + t
2 = (2 +
√5)
1/3 + (2 −
√5)
1/3 = 1.
Podstawiając w t
1 oraz t
2 w miejsce u = 1 otrzymujemy
| | 1 − √1 + 4 | | 1 − √5 | |
t1 = |
| = |
| |
| | 2 | | 2 | |
| | 1 + √1 + 4 | | 1 + √5 | |
t2 = |
| = |
| . |
| | 2 | | 2 | |
