wielomiany Kasia: 1)Rozłóż na czynniki wielomiany: Bardzo Proszę o pomoc jak to się robi. a) x³ – 7x −6 b) x⁴ – 4x³ + 12x – 9

J: a) zauważamy,że x = − 1 jest pierwiastkiem ... i dzielimy wielomian przez: x + 1

J: w drugim spostrzegamy, że: x = 1 jest pierwiatkiem

Kasia: Pomocy W jaki sposób to zauważyłeś?

J: na to już nie ma "metody"

Kasia: Rozumiem jesteś geniuszem.

J: ... podstwawiasz dzielniki wyrazu wolnego ( tutaj 6 ) i sprawdzasz kiedy ten wielomian się zeruje , jak podstawimy x = −1 , mamy: (−1)³ −7(−1) − 6 = − 1 + 7 − 6 = 0

Kasia: Ok dziękuję ci bardzo, bardzo. I love you

Mariusz: Kasiu dla trzeciego i czwartego stopnia są metody wykorzystujące funkcje elementarne dla równań stopnia większego niż cztery trzeba korzystać z funkcji specjalnych x³−7x−6=0 x=u+v (u+v)³−7(u+v)−6=0 u³+3u²v+3uv²+v³−7(u+v)−6=0

	7
u3+v3−6+3(u+v)(uv−		)=0
	3

u³+v³−6=0

	7
uv−		=0
	3

u³+v³=6

	7
uv=
	3

u³+v³=6

	343
u3v3=
	27

	343
t2−6t+		=0
	27

	100
(t−3)2+		=0
	27

	2700
(t−3)2+		=0
	729

	81+30√3		81−30√3
(t−		i)(t−		i)=0
	27		27

	1		1		1
x=		((81+30√3i)		+(81−30√3i)		)
	3		3		3

x⁴−4x³+12x−9=0 x⁴−4x³+4x²−4x²+12x−9=0 (x⁴−4x³+4x²)−(4x²−12x+9)=0 (x²−2x)²−(2x−3)²=0 (x²−2x−(2x−3))(x²−2x+(2x−3))=0 (x²−4x+3)(x²−3)=0 x⁴−4x³+12x−9=(x−1)(x−3)(x−√3)(x+√3)

Janek191: b) W(x) = x⁴ − 4 x³ + 12 x − 9 1 jest pierwiastkiem równania W(x) = 0 , bo 1⁴ − 4*1³ + 12*1 − 9 = 1 − 4 + 12 − 9 = 0 3 jest pierwiastkiem W(x) = 0 , bo 3⁴ − 4*3³ + 12*3 − 9 = 81 − 108 + 36 −9 = 0 więc można podzielić W(x) przez ( x − 1)*( x − 3) czyli przez x² − 4 x + 3 Wykonujemy to dzielenie ( x⁴ − 4 x³ + 12 x − 9 ) : ( x² − 4 x + 3 ) = x² − 3 − x⁴ + 4 x³ − 3 x² −−−−−−−−−−−−−−−−−− − 3 x² + 12 x − 9 3 x² − 12 x + 9 −−−−−−−−−−−−−− 0 Mamy zatem W(x) = ( x² − 4 x + 3)*( x² − 3) = ( x − 1)*( x − 3)*( x − √3)*( x + √3)