indukcja Blue: Mógłby ktoś pokazać, jak za pomocą indukcji matematycznej udowodnić wzór na n−ty wyraz ciągu geometrycznego?

nieuczciwy: Daj przykład pytania to się udowodni

Janek191: a_n = a₁*qⁿ⁻¹ 1) n = 1 ⇒ a₁ = a₁ * q⁰ = a₁ 2) Zakładam prawdziwość wzoru dla n : a_n = a₁ *qⁿ⁻¹ Mam wykazać, że z prawdziwości wzoru dla n wynika prawdziwość wzoru dla n + 1 czyli wzór a_n+1 = a₁*q^{(n +1) − 1} = a₁*qⁿ Dowód: a_n+1 = a_n*q = a₁*q^{n −1}*q = a₁*qⁿ Na podstawie indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby n ∊ℕ₁ ckd.

Blue: Dzięki Janek

Benny: @Blue Krysickiego przerabiasz?

Blue: no, jak mi się nudzi, to coś sobie z tej książki porozwiązuję

Blue: Mógłby jeszcze ktoś pokazać, jak rozwiązać 62 na str 26? https://docs.google.com/file/d/0B1crtQ6OkS03MGE0YWVlMmEtMzUzMy00ZWVjLWE3ZWEtNWY0N2NmNDdlYzVh/edit?hl=pl&pli=1

Benny: Sprawdź dla n=1, załóż, że zachodzi równość n=k, wykaż, że zachodzi równość dla k=n+1 Jak tak patrze to zastosowałbym sumę ciągu arytmetycznego i coś ładnie się pokaże pewnie. Spróbuj coś wykombinować

Janek191:

	n2*( n +1)2
13 + 23 + ... + n3 =
	4

	1*22
1) n = 1 13 =
	4

2) Zakładamy, że równość jest spełniona dla ustalonej liczby n ∊ ℕ₁ Należy sprawdzić słuszność równości dla n +1 , tzn.

	(n +1)2*( n +2)2
13 +23 + ... + n3 + ( n +1)3 =
	4

Aby to udowodnić korzystamy z założenia

	n2*( n+1)2
( 13 + 23 + ... + n3) + ( n +1)3 =		+ ( n + 1)3 =
	4

	n2		n2 + 4 n + 4		(n +1)2*(n +2)2
= ( n +1)2*[		+ ( n +1)] = ( n +1)2*		=
	4		4		4

więc na podstawie indukcji matematycznej mamy prawdziwa jest podana równość dla każdego n ∊ℕ₁.

Blue: Dziękuję

Blue: a mam takie jedno pytanko jeszcze: sama wykazałam, że to co jest w środku = to po prawej, ale Ty tak jakby zakładasz już sobie, że L=P, to jest prawda, można tak

Godzio: My zakładamy prawdziwość równości dla dowolnego naturalnego n, a pokazujemy dla n+1

Blue: hmmm.... ok A mógłby ktoś podpowiedzieć, jak zrobić 1.66 str 27?

Godzio: (2a + b²)⁸ Ogólnie mamy:

	n k
(a + b)n = ∑k=0n		akbn−k

	n 6
7 wyraz (dla k = 6) to		a6bn − 6

U Ciebie a := 2a, b:= b², n = 8, k = 6

Kacper: Chwila

Godzio: A z tego co widzę to w książce inaczej zapisał wzór ogólny, więc musisz kolejność zmienić 2a <−>b² i wyjdzie to co w odpowiedzi

Blue: no właśnie widzę, że trochę inaczej a dlaczego k=6?

Blue: Chyba coś źle wyszło, bo mam 112a²b¹², a w odpowiedzi mam 224a²b¹²,

Benny: Tam właśnie chyba jest błąd, bo też mi się coś kiedyś nie zgadzało. Powinno tu być to zadanko jeszcze gdzieś.

Kacper: (2a+b²)⁸=256 a⁸+1024 a⁷ b²+1792 a⁶ b⁴+1792 a⁵ b⁶+1120 a⁴ b⁸+ +448 a³ b¹⁰+112 a² b¹²+16 a b¹⁴+b¹⁶

Kacper: Zatem siódmy wyraz to 112a²b¹²

Blue: Dzięki Kacper, czyli po prostu lepiej skorzystać z tego drugiego wzoru Bo nie za bardzo ogarniam dlaczego tam akurat k=6 ... zawsze o 1 mniej niż szukany wyraz? Ale mnie dziś głowa boli, musiałam wypić aż 2 kawy Muszę się pozbyć wreszcie tego nawyku