Arytmetka modularna takitam: Jak mam ugryźć te zadanko? 6.Sformułować i udowodnić cechę podzielności przez a) 5 w systemie szesnastkowym b) 4 w systemie szesnastkowym c) 17 w systemie szesnastkowym Potrzebuję wskazówek, naprowadzenia na dobry tor.

PW: a) Niech c_j oznacza dowolną cyfrę zapisu szesnastkowego. Zapis c₁c₀ oznacza c₁·16 + c₀ = c₁(3·5 + 1) + c₀ = 15·c₁ + c₁ + c₀. Pierwszy składnik jest podzielny przez 5, a więc podzielność badanej liczby przez 5 ma miejsce, gdy c₁+c₀ jest podzielna przez 5. c₂c₁c₀ = c₂(3·5+1)² + c₁((3·5+1) + c₀ = c₂(9·25 + 6·5 + 1) + 3c₁·5 + c₁ + c₀ = = m·5 + c₂ + c₁ + c₀, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Podzielność ma miejsce, gdy c₂ + c₁ + c₀ jest podzielna przez 5. Biorąc pod uwagę, że dla dowolnej naturalnej k (15 + 1)^k jest sumą liczb podzielnych przez 5 i jedynki, a więc c_k ·16^k = c_k5m + c_k, można uznać za udowodnione, że liczba o zapisie szesnastkowym c_nc_n−1...c₂c₁c₀ jest podzielna przez 5, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 5. Przykład. Liczba o zapisie szesnastkowym 2FA8 ma sumę cyfr 2+15+10+8 = 35, a więc powinna dzielić się przez 5. Sprawdzenie: 2FA8₁₆ = 2·16³+15·16² + 10·16+8 = 8192+3840+160+8 jest podzielna przez 5.