Rozwinięcie potęgowe szeregu Patrycja: Oblicz 1000 pochodną funkcji f(x)=2/(1−x²)

AS: Oblicz 1000 pochodną funkcji f(x)=2/(1−x²)

	1
Pierwszy krok − rozkładam ułamek		na dwa ułamki proste.
	1 − x2

1		A		B
	=		+
1 − x2		1 − x		1 + x

1 = A*(1 + x) + B*(1 − x) Dla x = 1 mamy 2*A = 1 => A = 1/2 Dla x = −1 mamy 2*B = 1 => B = 1/2

1		1		1
	=		+
1 − x2		2*(1 − x)		2*(1 + x)

2		1		1
	=		+
1 − x2		1 − x		1 + x

Teraz nasza funkcja pierwotna ma postać

	1		1
f(x) =		+
	1 − x		1 + x

f(x) = (1 − x)⁻¹ + (1 + x)⁻¹ Drugi krok Kolejne pochodne f⁽¹⁾(x) = −(1 − x)⁻²*(−1) − (1 + x)⁻² = (1 − x)⁻² − (1 + x)⁻² f⁽²⁾(x) = −2*(1 − x)⁻³*(−1) + 2*(1 + x)⁻³ = 2*(1 − x)⁻³ + 2* (1 + x)⁻³ f⁽³⁾(x) = −6*(1 − x)⁻⁴*(−1) − 6*(1 + x)⁻⁴ = 6*(1 − x)⁻⁴ − 6* (1 + x)⁻⁴ f⁽⁴⁾(x) = −24*(1 − x)⁻⁵*(−1) + 24*(1 + x)⁻⁵ = 24*(1 − x)⁻⁵ + 24* (1 + x)⁻⁵ ====== f⁽ⁿ⁾ = N*(n+1)*[(1 − x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ + (−1)⁽ⁿ⁾*(1 + x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾] gdzie N jest współczynnikiem przy poprzedniej pochodnej. Resztę zrób sama.