Kombinatoryka Przemysław: Proszę o sprawdzenie, czy to ma sens. W balu wzięło udział 102 królewiczów i 103 królewny. Po balu okazało się, że każdy królewicz zatańczył z taką samą liczbą królewien. Udowodnij, że pewne dwie królewny zatańczyły z taką samą liczbą królewiczów. Gdyby nie było dwóch takich, które tańczyły z taką samą liczbą królewiczów, to każda musiałaby tańczyć z inną ich liczbą. Więc liczb (określających z iloma tańczyły) musiałoby być 103. Jest tak wtedy, gdy weźmiemy 0,1,...,102. Czyli jedna musiałaby nie tańczyć z nikim (liczba 0). Czyli królewicze tańczyliby z max 102 królewnami, min z żadną, czyli n∊[0;102]⋀n∊ℕ Wybieramy n. Będzie n królewien, które tańczyły ze wszystkimi królewiczami i 103−n takich, które tańczyły z 0. Zawsze znajdziemy takie 2, że tańczyły z tą samą liczbą królewiczów (bo zawsze zachodzi jedna z dwóch nierówności: n>2, albo 103−n>2) n>2, dla n∊[3;102] a jeżeli n∊[0;102]\[3;102], czyli n∊[0;2]⋀n∊ℕ a 103−n>2 jest dla n<101, każde n z [0;2] jest mniejsze od 101.

Przemysław: Tam powinny być nierówności n≥2 i 103−n≥2 oczywiście.