Franciszek Leja Rachunek różniczkowy i całkowy Benny: W tej oto książce znalazłem z granic takie zadanko. 1. Wykazać, że gdy n→∞, to

	2n−1		2
a)		→
	3n+1		3

wystarczy jak zrobię metodą z liceum tzn. wyciągnę n przed nawias i podzielę czy coś tu trzeba modzić?

ICSP: "Wykazać" − czyli za pomocą definicji.

Benny: |a_n−g|<ε mam sobie obrać dowolnie małe ε?

PW: Dowolnie małe, na czas dowodu ustalone (piszemy po prostu ε, nie wolno brać "przykładowych

	1		1
małych" jak		, bo to będzie dowód tylko dla		).
	100		100

Sens rozwiązania nierówności polega na pokazaniu, że "dla prawie wszystkich n" nierówność jest spełniona. Spełniona począwszy od pewnego n₀ (zależnego od ε).

Benny: Kurcze dawno tak liczyłem.

	2n−1		2
|		|−		|<ε
	3n+1		3

	−5
|		|<ε
	9n+3

5
	<ε
9n+3

5		5
	<
9n+3		9n

5
	<ε
9n

5
	<9n
ε

5
	<n
9ε

5
	=n0
9ε

Jaki komentarz należy do tego dopisać?

PW: Niepotrzebnie zgubiłeś trójkę:

	5
9n+3 >
	ε

	5
9n >		− 3
	ε

	5		1
(1) n >		−
	9ε		3

n₀ musi być liczbą naturalną, więc bierzemy

	5		1
n0 = [		−		] +1,
	9ε		3

gdzie symbol [.] oznacza całość (entier, podłoga). Jest pewność, że dla n ≥ n₀ nierowność (1) jest spełniona

Benny: Musi być to +1?

	5		1
Samo [		−		] nie przyjmuje wartości naturalnej?
	9ε		3

PW: Przyjmuje, ale nierówność (1) mogłaby być fałszywa dla takiego n (cofamy się na osi). Pewność mamy dopiero od następnej liczby naturalnej.

Benny:

	5		1
Chodzi o to, że [		−		] może przyjąć wartość 0, więc n≥0 nie będzie spełniono, bo
	9ε		3

n∊N?

PW:

	5		1
Nie, zwyczajnie liczba		−		jeszcze nie spełnia nierówności (bo n mają być
	9ε		3

większe od niej). Bierzemy całość, żeby otrzymać liczbę naturalną. Całość z dowolnej liczby jest jej równa lub mniejsza, a więc tym bardziej nie spełnia nierówności. Dopiero po dodaniu 1 znajdziemy się w zbiorze rozwiązań.

Benny: Czytam, czytam i nie wiem co jest ze mną nie tak, ale nie widzę. Nie wiem co źle myślę. Jeśli

	5		1		5		1
n=[		−		] to jakim cudem n>[		−		]+1?
	9ε		3		9ε		3

b.: n i n₀ to co innego

	5		1
n powinno być większe od		−		, więc za n0 bierzemy właśnie tę liczbę, a jeśli się
	9ε		3

upieramy, żeby n₀ było całkowite, to można wziąć jakąś liczbę całkowitą większą równą od

	5		1
		−		. Najprościej napisać właśnie [...] + 1.
	9ε		3

Benny: Ok, dzięki wszystkim. Rozwiązanie w książce

2n−1		1   2−   n
	=
3n+2		2   3+   n