Równość Paul: x⁴−10x³+35x²−50x + 9 = 0 Jak rozwiązać to równanie?

koło: może być dosyć ciężko, na pewno dobrze przepisane? na wolframie widzę same niewymierne rozwiązania

Paul: Tak dobrze wychodzi to po wymnożeniu (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = 15

PW: Tu trzeba sprytnie: (x² − 5x + 4)(x² − 5x + 6) = 15, czyli po odpowiednim podstawieniu (t + 4)(t + 6) = 15, a rozwiązanie (jedno, nie zastanawiamy się ile ich jest) zgadujemy bez trudu: t = −1. co oznacza, że rozwiązaniami są m.in. takie x, dla których x² − 5x = −1. Wiedząc to rozwiążemy równanie.

Paul: Czyli równanie ma rozwiązania:

	5−√21
x1 =
	2

	5+√21
x2 =
	2

Dlaczego nie bierzemy pod uwagę drugiego rozwiązanie równania (t+4)(t+6)=15?

PW: Jeżeli je widzisz, to śmiało korzystaj, i koniec rozwiązania Pisałem o jednym, bo to wystarczy − można po prostu podzielić W(x) : (x² − 5x + 1) = P(x), P jest trójmianem i pozostałe rozwiązania wyliczymy. Zgadnięcie drugiego t jest oczywiście oszczędnością czasu.

Paul: Mógłbyś sprawdzić czy dobrze policzyłem to zadanie i czy nie ma więcej rozwiązań?

PW: Podałeś na razie 2 rozwiązania. Jeżeli twierdzisz, że więcej nie ma, to trzeba taką tezę udowodnić. Można na podstawie t = −9. Uzasadnienie musi być jednak dokładne − bywa, że równanie czwartego stopnia ma 4 rozwiązania, więc teza, że w tym wypadku są tylko 2, wymaga uzasadnienia).

Paul: Na podstawie t = −9 wychodzi ujemna delta więc nie ma więcej rozwiązań, dobrze?

PW: Tak. Trzeba jeszcze dodać, że równanie (t+4)(t+6) = 15 − jako równanie kwadratowe − ma co najwyżej 2 rozwiązania i oba zgadliśmy.

Paul: Ok, dziękuję za pomoc