Liczby zespolone w geometrii Przemysław: Dobry wieczór! Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś wyjaśnił mi na jakimś prostym przykładzie/przykładach podstawowe zasady rozwiązywania zadań z geometrii przy użyciu liczb zespolonych.

Kacper: A umiesz rozwiązywać zadania bez użycia liczb zespolonych? Wiesz co to są liczby zespolone?

Przemysław: Wiem, co to Coś troszkę umiem, ale tak bez przesady

Kacper: Najpierw naucz się rozwiązywać zadania z geometrii bez użycia liczb zespolonych. Gwarantuje si, że jakieś kilka lat masz z głowy na dobre opanowanie tego zagadnienia

Przemysław: Nauce rozwiązywania zadań można pewnie poświęcić całe życie Chodzi mi o takie podstawy. Zawsze jakiś dodatkowy sposób, z którym można pracować by był

Przemysław: Zasadniczo, to powiem tak: co Ci szkodzi napisać jakieś przykładowe proste zadanko?

Mila: 1) Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysowac zbiory liczb zespolonych spełniajacych podane warunki: a) |z|≤1 b)|z−i|<2 c)|z−1+2i|≤5

Przemysław: Wybaczcie, trochę mnie nie było (na płaszczyźnie Gaussa): a) koło z brzegiem, promień równy 1, środek w 0,0 b) koło bez brzegu, promień 2, środek 0,−1 c) koło z brzegiem, promień 5, środek −1,2 To jest jakoś tak?

Mila: a)r=1, S=(0,0) b) r=2, S=(0,1) c) |z−(1−2i)|≤5 R=5 , S=(1,−2)

Przemysław: Aha! No dobra, chyba rozumiem. Bo przykładowo ma być takie koło, że jak je obniżę o 1, to będzie takie jak zawieszone w 0,0.

Mila: Możesz w każdym przypadku skorzystać z algebraicznej postaci liczby z i definicji modułu. a) |z|<1 z=x+iy, gdzie x,y∊R |x+iy|<1 √x²+y²<1 /² x²+y²<1 wnętrze koła o środku S=(0,0) bez brzegu, r=1 b) |z−i|<2 |x+iy−i|<2 |x+i(y−1)|<2 p{x²+(y−1)²|<2 x²+(y−1)²<2² i wszystko widać c) zrób sam obliczenia

Przemysław: c) z=x+yi |z−1+2i|≤5 √(x−1)²+(y+2)²≤5 (x−1)²+(y+2)²≤5²

Mila: Dobrze.

Przemysław: Dziękuję Tylko jak teraz to przenieść na zadania z geometrii

Mila: Jakie masz te zadania?

Przemysław: No to tak przykładowo: "Na bokach dowolnego trójkąta zbudowano, na zewnątrz, trójkąty równoboczne. Udowodnij, że ich środki tworzą trójkąt równoboczny."

Benny: Czy to nie jest Twierdzenie Napoleona?

Przemysław: Wygląda, że tak.

Przemysław: Wygląda, że tak, ale nadal chodzi o dowód przy użyciu l. zespolonych, bo zależy mi na poznaniu metody

Przemysław: