rownanie Karzel: Podaj rownanie plaszczyzny rownoleglej do x−y+2z=0 i stycznej do powierzchni x² +2y²+z²=1 Proszę o jakąś wskazówke, obliczyłem na razie pochodne czastkowe, ale nie wiem co dalej

Karzel: odswiezam .

prosta: płaszczyzna o równaniu Ax+By+Cz+D=0 jest styczna

	x2		y2		z2
do elipsoidy o równaniu:		+		+		=1
	a2		b2		c2

gdy a²A²+b²B²+c²C¹=D² w zadaniu płaszczyzna równoległa do danej ma równanie: x−y+2z+D=0

	x2		y2		z2
elipsooida:		+		+		=1
	1		0,5		1

stąd D²=1*1+1*0,5+4*1

	11
D2=
	2

	√22
D=
	2

prosta: można inaczej...szukając punktu styczności: f(x,y,z)=x²+2y²+z²−1 f'_x=2x , f'_y=4y , f'_z=2z stąd: 2x=1 , 4y=−1 , 2z=2

	1		1
P=(		, −		, 1)
	2		4

równanie płaszczyzny: 1(x−0,5)−(y+0,25)+2(z−1)=0 x−y+2z−2,75=0

prosta: hmm...ciekawe jaka jest odpowiedź

Karzel: Dzieki za odzew, odpowiedź to: x−y+2z= √11/2 i − √11/2

prosta: to pierwszy wzór zadziałał

	11
D2=
	2

D=√11/2 lub D=− √11/2 w drugim sposobie nie jest dobrze, bo punkt P nie leży na powierzchni ...trzeba to poprawić

prosta: szukam punktów styczności: 2x=k , 4y=−k, 2z=2k ⇒x=0,5k , y=−0,25k , z=k punkt leży na elipsoidzie: (0,5k)²+2(−0,25k)²+k²=1

	k2		k2
		+		+k2=1
	4		8

11k²=8

	8		2√ 2
k2=		⇒k=
	11		√11

	2√ 2
lub k=−
	√11

równanie stycznej płaszczyzny: (x−0,5k)−(y+0,25k)+2(z−k)=0

	11
x−y+2z−		k=0
	4

	11		2√ 2		11		2√ 2
x−y+2z−		*		=0 lub x−y+2z+		*		=0
	4		√11		4		√11

	√11		√11
x−y+2z+x−y+2z−		lub x−y+2z+x−y+2z−
	√2		√2

prosta: ups

	√11		√11
x−y+2z−		=0 lub x−y+2z+		=0
	√2		√2

Karzel: Dziekuje serdecznie, zaraz to przejrze dokładnie! Mam to w dziale, pochodnych cząstkowych/ekstrem − wiesz może, czy istnieje sposób na rozwiązanie tego sposobu właśnie za pomocą pochodnych? Jeszcze raz bardzo dziekuje

prosta: właśnie tym sposobem rozwiązałam, szukając punktu styczności (18.56 i dalej poprawka 19.32)