Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu określonego Kasia: Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n−ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: w tym miejscu są podane jakieś A0, A1 oraz wzór. Mam dwa pytania odnośnie tego typu zadań. 1.Na początku obliczamy jakąś funkcję A(x). Potem jeżeli okaże się, że nasza funkcja w którejś sumie zaczyna się od a₁ a nasza zaczyna się od a₀ to odejmujemy od niej a₀. Co w przypadku gdy nasza funkcja w którejś sumie zaczyna się od a₂ odjąć a₁ czy a₀? Chodzi mi o taki przypadek: A(x)=∑ a_n * xⁿ = a_o + a₁x + a₂x² a w którejś sumie wyjdzie nam np. 6x(a₁x + a₂x²) w tym wypadku odejmujemy od tego co w nawiasie a₀ bowiem to nasza funkcja zapisana powyżej jednak "przesunięta" o jeden element w prawo. Zaczyna się od a₁ a nie od a₀. Końcowa postać więc wyglądała by tak : 6x(A(x)−a₀) i pod a₀ podstawiamy wartość. Co w przypadku gdy zamiast a₁x będzie a₂x²? Też to będzie nasza funkcja tylko "przesunięta" już o 2 elementy wtedy również odejmujemy a₀ czy może a₁? 2.Co gdy na początku zadania zamiast a₀, a₁, a₂ i wzoru podane jest a₁, a₂, i wzór? Zadanie rozwiązuje podobnie tylko tym razem względem a₁ czy muszę jakoś a₀ wyznaczyć? Z poważaniem, Kasia

PW: Nie można w ten sposób opowiadać matematyki. "Na początku obliczamy jakąś funkcję A(x)" − co to ma znaczyć? Myślę że na konkretnym przykładzie odpowiedź otrzymasz szybko, a na takie "teoretyczne" rozważania chętnych nie będzie.

Kasia: Rozumiem, podam przykład gdy będę w domu. Ma pan/pani rację na przykładzie szybciej dojdzie się do porozumienia.

Kasia: Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n−ty wyraz ciągu określonego: a₀=1, a₁=0, a₂=4 A(x)=∑_n=0ⁱnf

Kasia: Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n−ty wyraz ciągu określonego: a₀=1, a₁=0, a₂=4 oraz a_n= 6a_n−1 − 12a_n−2 + 8a_n−3 Rozwiązanie: A(x)=∑a_n*xⁿ=a₀ + a₁x + a₂x² + ∑6a_n−1 − 12a_n−2 + 8a_n−3 Dla ∑_n=3 6a_n−1 (n=3 w sumie bo mamy a₂ współczynników podanych) 6(a_n−1 * xⁿ) wypisuję kilka współczynników aby było łatwiej 6(a₂x³+a₃x⁴+...) 6x(a₂x²+a₃x³+...) 6x(A(x) − co tu wpisać bowiem funkcja zaczyna się od a₀ jak powyżej napisałem a tutaj mi się zaczyna od a₂x²). To było moje pierwsze pytanie. Natomiast drugie pytanie to jak się rozwiązuje zadanie gdy podano wyrazy ciągu od a₁ a nie od a₀. Rózni się sposób czy tylko liczymy względem a₁ a nie a₀ czy może jakoś wyznaczamy a₀?

uczciwy: an = 6a_n−1 − 12a_n−2 + 8a_n−3 brak załozenia , więc np. a₁ = 6a₀ + 12a₋₁ + 8a₋₂ głupio wygląda, co nie

Kasia: No może i głupio wygląda ale w poleceniu nie mam żadnego założenia. Przepisałam polecenie w całości. Zapewne ten po lewej ma jakiś sens dopiero od n=3. Chcę tylko się dowiedzieć co mam odjąć w przypadku gdy wychodzi mi 6x(A(x)−) oraz co jeżeli na początku zadania nie mam a₀ tylko a₁

Kasia: To może inaczej czy mógłby je ktoś rozwiązać wtedy albo w rozwiązaniu zostaną zawarte odpowiedzi na moje pytania albo dopytam.

PW: Kasiu, gdybyś od razu spytała: − Jak za pomocą funkcji tworzącej wyznaczyć wzór ciągu określonego rekurencyjnie: a₀ = 1, a₁ = 0, a₂ = 4, a_n = 6a_n−1 − 12a_n−2 − 8a_n−3 dla n ≥ 3, to byłoby prościej. Od razu odpowiadam: − Źle wyznaczyłaś funkcję tworzącą A(x) (patrz godz. 23:10). Rzeczywiście sedno rozwiązania polega n tym − jak sumę _∞ ∑ (6a_n−1 − 12a_n−2 − 8a_n−3)x^{n n=3} przedstawić w postaci trzech sum, z których każda (mówiąc nieprecyzyjnie) zależy od A(x). Na przykład _{∞ ∞} ∑ (6a_n−1xⁿ = 6x·∑ a_kx^k = 6x(A(x) − a₀x⁰ − a₁x¹) ^{n=3 k=2} − sumowanie rozpoczyna się od k = 2, czyli do A(x) brakuje dwóch początkowych wyrazów). Sztuczka polega na wyłączeniu x przed znak sumowania, aby uzyskać jednakowe wskaźniki a_kx^k. Przekształcając sumę ∑12a_n−2xⁿ = 12x²∑a_kx^{k n=3 k=1} musieliśmy wyłączyć x², a sumowanie odbywa się od k=1, czyli do pełnej sumy A(x) brakuje wyrazu a₀x⁰. Ta sama sztuczka z wyłączeniem x³ przed znak sumy odbędzie się dla trzeciego składnika, który będzie równy 8x³A(x) (tam już nic nie brakuje do A(x), następuje tylko mechaniczna zamiana wskaźnika sumowania − zamiast n = 3 napiszemy k = 0). Czy na tym polegały Twoje wątpliwości?

Jacek: Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź. Jeżeli dobrze zrozumiałam to uzyskałam odpowiedź na jedno z moich dwóch pytań. Jeżeli w sumowaniu brakuje np. dwóch początkowych wyrazów to muszę odjąć a₁ oraz a₀ od A(x) tak? Natomiast moim drugim pytaniem było czy coś się zmienia jeżeli w zadaniu nie podano a₀ tylko np. a₁ i a₂ i a₃ oraz wzór ciągu określonego rekurencyjnie( również takie polecenia mam w zestawie zadań). Moim zdaniem wtedy po przeprowadzeniu sztuczki i uzyskaniu jednakowych wskaźników będziemy porównywać do a₁ bo po prostu a₀ nie zostało podane.