Całka z ułamka CŁK: Mam taką całkę 1 ∫ −−−−− dx x² − 4 I pytanie, czy rozwiazanie będzie z logartymem, czy z arcustangensem... jak do tego dojść? Dzięki za pomoc

Mila: Rozkładasz na ułamki proste .

1		A		B
	=		+
(x−2)*(x+2)		x−2		x+2

dasz radę?

Przemysław:

	1
∫		dx
	(x−2)(x+2)

A		B		1
	+		=
x−2		x+2		(x−2)(x+2)

A+2xA+B−2xB=1 2A−2B=0 A+B=1

	1
A=B=
	2

	1		1		1		1		1		1
∫		dx=		∫		dx+		∫		dx=		(ln|x−2|+ln|x+2|)+C
	(x−2)(x+2)		2		x−2		2		x+2		2

Mi jakoś tak wyszło, oczywiście mogłem się pomylić.

Przemysław: Ops.

CŁK: czyli to nie będzie nic z arcustangensem... a pochodna arcustangensa wygląda niemal identycznie jak ta funkcja pod całka... No cóż, to już rozumiem, na czym polegał mój błąd... Dzięki za wasz sposób... pewnie można te logarytmy naturalne na koncu, Przemysławie, zapisać jako jeden − logarytm z iloczynu modułów. Dzięki za podpowiedź. Muszę zapamiętac, że takie przypadki to nie arcustangens

Przemysław:

	1
Można można pewnie jeszcze		schować w logarytm.
	2

Mila:

1		1		A		B
	=		=		+		⇔
x2−4		(x−2)(x+2)		x−2		x+2

1		A*(x+2)+B*(x−2)
	=		⇔
(x−2)(x+2)		(x−2)*(x+2)

1=Ax+2A+Bx−2B 1=x*(A+B)+(2A−2B) A+B=0 2A−2B=1 A=−B −2B−2B=1 −4B=1

	1
B=−
	4

	1
A=
	4

	1		1		1		1		1
∫		dx=		∫		dx−		∫		dx=
	x2−4		4		x−2		4		x+2

	1		1		x−2
=		(ln|x−2|−ln|x+2|)=		ln|		|+C
	4		4		x+2

Przemysław: Mila Racja, mnożenie okazało się dla mnie za trudne