Granica Ciągu Liczbowego Cezary: Cześć potrzebuje waszej pomocy. Muszę się nauczyć granicy ciągu liczbowego, a najłatwiej mi będzie gdy zobaczę jak to się robi i z jakich wzorów korzysta. Jeżeli ktoś byłby skłonny pomóc to bardzo proszę. Dla was to pewnie chwila Zad 1. Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Określ czy ciąg (a_n) jest zbieżny do zera gdy a₁ = 0,01 ; q = 100 Zad. 2 a) lim (³₄)ⁿ = n−−> znak nieskończoności b) lim ³⁺ⁿ_2n = n−−> znak nieskończoności c) lim (4 − ²_n²) = n−−> znak nieskończoności d) lim ^{(n2−16)(n+2)}_n³−2n+1 = n−−> znak nieskończoności e) lim √3−¹_n n−−> znak nieskończoności Zad. 3 Przedstaw w postaci ułamka zwykłego 0,(12) Zad. 4 Ustal dla jakich wartości x szereg jest zbieżny x+^x_x−1+^x_x²−1²+... Zad. 5 Rozwiąż równanie którego lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym x+^x₃+^x₉+...=x²−1 Dziękuje

PW:

	1
a1 =		, q = 100.
	100

Zwyczajnie podstawiając można się przekonać, że

	1
a2 = a1·q =		·100 = 1,
	100

a₃ = a₂·q = 1·100 = 100 a₄ = a₃·q = 100·100 = 10000, .... czyli że wyrazy ciagu rosną nieograniczenie. Ciąg nie jest zbieżny do żadnej liczby, w szczególności nie jest zbieżny do 0. Nie jest to bardzo "naukowa" metoda, ale skuteczna − zawsze warto obliczyć kilka początkowych wyrazów ciągu, co pozwala zauważyć tendencję. Naukowo − wystarczy pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby M rozwiązaniami nierówności a_n > M jest nieskończenie wiele liczb n. W tym wypadku pokazać rozwiązanie nierówności a₁qⁿ⁻¹ > M 100ⁿ⁻² > M Jeżeli umiesz dokończyć i aż tak tego wymagają, to dokończ (trzeba zlogarytmować stronami).

Martiminiano: Zad. 5 Skoro lewa strona jest szeregiem zbieżnym geometrycznym, to możemy skorzystać ze wzoru na jego

	a1
sumę S=
	1−q

	1
S=x2−1 a1=x q=
	3

	x
x2−1=
	23

	3
x2−1=		x
	2

	3
x2−		x−1=0
	2

Δ=..... x₁=.... x₂=.....

Martiminiano: Czwarte jest bardzo nieczytelne, przy ułamku użyj wielkiej litery "U". Ad. 3 0,(12)=0,12+0,0012+0,000012...... Zauważ, że kolejne wyrazy tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równy 0,12 i ilorazie

	1
równym		. Skoro iloraz |q|<1 możemy znowu skorzystać ze wzoru
	100

	a1
S=
	1−q

	12100		12		100		12
S=		=		*		=
	1−1100		100		99		99

	12
0,(12)=
	99

Martiminiano: W zadaniu drugim również popraw ułamki bo są nieczytelne.

Cezary: Ok poprawiam Zad 2.

	3
a) lim (		)n =
	4

	3+n
b) lim		=
	2n

	2
c) lim (4 −		) =
	n2

	(n2−16)(n+2)
d) lim		=
	n3−2n+1

	1
e) lim √3−		=
	n

Wszędzie n−−> znak nieskończoności Zad 4. Ustal dla jakiej wartości x szereg jest zbieżny

	x		x
x+		+		+...
	x−1		x2−12

Dzięki jeszcze raz

Martiminiano: a) 0, co widać choćby podstawiający kolejne liczby za n b) wyłączasz n przed nawias w liczniku i granicą jest 1

	2
c) 4, bo granicą z 4 jest 4, a z		jest 0
	n2

d) wyłączasz n³ przed nawias, granica to 1 e) tak samo jak w c, granica to √3

Martiminiano: Zad. 4 Oblicz iloraz i rozwiąż nierówność −1<q<1

Martiminiano:

	1
Poprawka w podpunkcie b granicą jest
	2

Cezary: Dziękuje za pomoc