zagadnienia optymalizacyjne Robert : Cześć wszystkim. Potrzebuje pomocy, mógłby ktoś mi rozpisać tak żeby było najprościej wytłumaczone. ? Treść zadania: Jakie wymiary powinien mieć prostokąt o obwodzie równym 8, aby walec, który powstanie z obrotu tego prostokąta dookoła jednego z boków miał: a) największe pole powierzchni bocznej − to mam obliczone b) największą objętość − przy tym nie mam kompletnie pomysłu .....

irena_1: H+r=4 H=4−r 0<r<4 V=πr²(4−r)=π(−r³+4r²) V'=π(−3r²+8r) V'=0 −r(3r−8)=0 r>0

	8
r=
	3

	8		4
H=4−		=
	3		3

Przemysław: Spróbowałem trochę inaczej i coś nie wychodzi. r²πH=V weźmy teraz trzy liczby: r,r,πH średnia geometryczna: ³√rrπH=³√V

	2r+πh
średnia arytmetyczna:
	3

	2r+πH
3√V≤
	3

równość zachodzi tylko wtedy, gdy: r=πH, więc wtedy objętość będzie maksymalna z warunku r+H=4 mamy:

	4		4π
H=		, r=
	π+1		π+1

Ale ten mój wynik jest zły tylko nie wiem czemu

Przemysław: W każdym razie można trochę inaczej: r=4−H (4−H)²πH=V liczby: 4−H,4−H,2H G− śr geometryczna A− śr arytmetyczna ³√^2V_π=G

	8
A=
	3

G≤A po przekształceniach:

	64*4π
V≤
	27

równość dla 4−H=2H

	4		4		8
czyli dla H=		, r=4−		=
	3		3		3

Robert : w punkcie b proszą o największa objętość, kończąc Ireny początek, miejsca zerowe 8xπ−3a²π to x=1 i x= 8/3

J: a skąd miejsce zerowe: x = 1

Robert : do wzoru F(x) podstawiamy 8/3 i wychodzi 256/27 π, ktoś może kojarzy albo sprawdzi poprawność za F(8/3) = 4x²π −x³π za x inaczej r, wstawiłem 8/3 co myślicie ? o tym

Robert : przepraszam x= 0 i x= 8/3

Robert : mo 8xπ− 3x²π= 0 więc x(8π−3xπ)= 0 i rozwiązania 0 i 8/3

J: ja myślę,że dalej nie masz pojęcia o co chodzi w tym zadaniu

Robert : poprawiona tabelka, co dalej ? czy o to chodzi, do tego momentu rozumiem

J:

	8
chcesz sprawdzić, czy w punkcie: r =		funkcja osiaga maksimum ?
	3

Robert : ta wartość co wyjdzie w MAX to będzie wartością max objętości ? tak ?

J:

	8
człowieku, co Ty mącisz ? funkcja osiąga maksimum dla r =
	3

	8		8
czyli maksymalna objętośćm jest dla: r =		i H = 4 −
	3		3

Robert : i wtedy podstawić pod wzór na objętość ? co dalej ? czy to wszystko ?

Przemysław: Jeżeli chcesz znać maksymalną objętość to tak,

	8		4
ale pytanie było o wymiary, a wymiary znasz: r=		, H=		.
	3		3

Robert : Dziękuje za pomoc bardzo ! faktycznie później sobie komplikowałem sam, ale już wiem o co chodzi

Przemysław: Spoko. Pytanie kontrolne: po co Ci tu pochodna?

Robert : w pkt. A) pochodną liczyłem mo pochodnej szkic i tabelke i w ten sposób po przekształceniu wzoru na Pole boczne obliczyłem a i b i obliczyłem Pole boczne. Taką chciałeś odpowiedź jesli nie, to proszę wytłumacz

Przemysław: Sorki, dopiero zobaczyłem Chodziło mi o to, że pochodna mówi Ci jak zmienia się funkcja (rośnie, maleje, jest stała). Jeżeli pochodna jest zerowa w danym punkcie to możemy podejrzewać, że funkcja badana ma tam ekstremum (jeżeli pochodna w tym punkcie zmienia znak). Dlatego można przyrównać pochodną do zera. Dostaniemy punkty (jeden odrzucamy, bo r jest długością boka prostokąta, więc cięzko, żeby było to zero). Patrzymy na wykres pochodnej.

	8
W tym punkcie, który nam został (r=		) pochodna zmienia znak, z "+" na "−".
	3

Czyli funkcja rosła zanim dotarła do punktu, gdzie pochodna się zeruje. Za tym punktem maleje. Czyli musiała osiągnąć jakieś maksimum. I to maksimum jest dokładnie w punkcie, gdzie funkcja się zatrzymała (pochodna była zero). Dlatego dla tego wyliczonego r, objętość (nasza badana funkcja) przyjmuje swoje maksimum. Długość drugiego boku (H) otrzymujemy z danych o obwodzie. Jak zawsze mam nadzieję, że nie pomyliłem się i nie napisałem głupot

Robert : Po przeczytaniu twojej wypowiedzi, zgadzam się z tobą, odpowiedź jak najbardziej zrozumiała. Cieszy mnie to że są jeszcze tacy ludzi co pomagają bezinteresownie. Dzięki ^{_/sup>^}

Przemysław: Spoko Dodatkowo można też się bawić tak jak ja tam robiłem z nierównością między średnimi (post z 14:32), ale tak chyba jest ciężej (i nie wiem, czy dobrze to zrobiłem).

Robert : Nie za bardzo rozumiem tych średnich, tego rozwiązania z godz 14"32

Przemysław: r²*π*H=V r=H−4, bo r+H=4 (4−H)²πH=V teraz biorę liczby: 4−H,4−H,2H I jest prawdziwe, dla każdych liczb (a więc w szczególności dla tych, które dobrałem), że ich średnia geometryczna jest ≤ ich średniej arytmetycznej. Dodatkowo równość zachodzi tylko, gdy wszystkie liczby są sobie równe. więc liczę średnią geometryczną, nazwę ją G: G=³√(4−H)²*2H zauważmy że G=³√^2V_π <−− możesz sobie wstawić V i powinno wyjść, że to prawda liczę teraz średnią geometryczną, nazwę ją A:

	4−H+4−H+2H		8
A=		=
	3		3

Mamy więc z tego faktu o nierówności: G≤A

	8
3√2Vπ≤
	3

2V		64*8
	≤
π		27

	32*8
V≤
	27π

objętość jest najwyżej równa wyrażeniu po prawej stronie a równość ta zachodzi, gdy wszystkie liczby (z naszych dobranych) są równe 4−H=4−H jest oczywiste teraz ma być jeszcze: 4−H=2H 4=3H

	4
H=
	3

	8
r=4−H=
	3

Ale mówię, nie jestem pewien czy to jest dobrze (znaczy wynik ok, ale nie wiem, czy rozumowanie jest całkiem ok)