Granice Benny:

	1		2		n
un=		+		+...+
	nk		nk		nk

	n(n+1)
un=
	2nk

	1   n2(1+ )   n
un=
	n2*2nk−2

Granica tego ciągu to 0?

Saizou :

1		2		n		1+n   *n 2		n2(1+1/n)
	+		+...+		=		=		=
nk		nk		nk		nk		2nk

1+1/n
2nk−2

	1+1/n		1+1/n		1
gdy k=2 mamy		=		=		gdy n→∞
	2n0		2		2

	1+1/n
gdy k>2 mamy		=0 gdy n→∞
	2nk−2

	1+1/n
gdy k<2 mamy		=∞ gdy n→∞
	2nk−2

Benny: Ok, dzięki. Nie wiedziałem, że to jeszcze trzeba dla poszczególnych przypadków. a)

	1
un=(1−		)n
	n2

	1		1
un=(1−		)n*(1+		)n
	n		n

	1
un=		*e=1
	e

b)

	4
un=(1−		)−n+3
	n

	4		4
un=(1−		)−n*(1−		)3
	n		n

u_n=e⁴*1=e⁴ Dobrze?

Saizou : jest ok

Saizou : czyżbyś zaczął przerabiać Krysickiego ?

Benny: Tak. Dostałem od nauczycielki "Rachunek różniczkowy i całkowy" Franciszka Leji, ale jakoś się tam nie mogłem połapać. Dziwna teoria jak na pierwszy raz i samo naukę

Saizou : Benny a już wiesz gdzie na studia idziesz ?

Benny: Nie

Saizou : ale i tak najpierw lepiej przebrnąć przez granice najpierw ciągów, potem funkcji

Saizou : za dużo czasu Ci nie pozostało

jakubs: Polecam Krysicki + Skoczylas + wykłady PWr na YT − Analiza Matematyczna I. Nie przerobiłem wszystkiego we wakacje, bo całek zbyt wiele się nie nauczyłem, a przez cały 1 semestr się obijałem, ćwiczenia na 4.5, egzamin 4.0

Benny: A no to to akurat wiem. c)

	n2+6
un=(		)n2
	n2

	6
un=(U{1+		)n2
	n2

u_n=e⁶ d)

	n2+2
un=(		)n2
	2n2+1

	1		3
un=(		*(1+		))n2
	2		2n2+1

	1		3
un=(		)n2*((1+		)(2n2+1)/3)3/2 − (3/2)/(2n2+1)
	2		2n2+1

Dziwnie się tu zapisuje tak czy siak wychodzi mi z tego 0*e^3/2=0 dobrze?

jakubs: co do D, nie trzeba aż tego rozpisywać, bo :

	anb
1. limn→∞		= 1
	anb

	anb		a
2. limn→∞		=
	cnb		c

	anb
3. limn→∞		= 0 ; d>b
	cnd

	a		1
W Twoim przypadku(2), masz:		==		, czyli :
	c		2

	1
(		)limn→∞n2 = 0
	2

Benny: Tak wiem, że nie trzeba tego rozpisywać, bo widać to na początku. Chodziło mi bardziej o rozbijanie takich ułamków w razie gdyby trzeba było to liczyć

Benny: u_n=√n+√n−√n−√n

	(√n+√n−√n−√n)(√n+√n+√n−√n)
un=
	√n+√n+√n−√n

	2√n
un=
	1   1   √n(1+√ )+√n(1−√ )   n   n

u_n=1

Benny: u_n=ⁿ√2n³−3n²+15

	3		15
un=n√n3(2−		+		)
	n		n3

u_n=n^3/n więc granica u_n=0? Sprawdzi też ktoś to wyżej?

Benny: Poprawka u_n=1

Benny: Kolejne dwa przykłady. Tutaj coś się z odp nie zgadza a w drugim nie jestem pewny. a) u_n=√n¹⁰−2n²+2

	2		2
un=(n10(1−		+		))2
	n8		n10

	2		2
un=n5(1−		+		)
	n8		n10

więc granica u_n=∞ a w odp wychodzi 1 b)

	1		3n
un=		*cosn3−
	2n		6n+1

	6n*cosn3+cosn3−6n2
un=
	12n2+2n

	6cosn3   cosn3   n2( + −6)   n   n2
un=
	1   2n2(6+ )   n

	6cosn3		cosn3
granica		jest równa 0 oraz granica		jest równa zero, ponieważ cos
	n		n2

	+−1
przyjmuje wartości od <−1;1> czyli mamy wyrażenie		=0?
	∞

	−1
więc granica un=
	2

Czy takie rozumowanie jest dobre? Jak to można inaczej zapisać?

Benny:

Mila: a) błędne zapisy sprawdź, czy nie ma tam pierwistka n−tego stopnia. b) dobrze

1
	*cos(n3)→0 jako granica iloczynu ciągu zbieżnego do zera przez ciąg ograniczony.
2n

	3n		3n		1
limn→∞(−		)=limn→∞(−		=−
	6n+1		1   n*(6+ )   n		2

Mila: http://www.matemaks.pl/twierdzenie-o-granicy-iloczynu-ciagu-zbieznego-do-zera-oraz-ciagu-ograniczonego.html

Benny: To moje a) to tutaj http://www.zanet.pl/etasarz/mata/Krysicki.Wlodarski.-.Analiza.matematyczna.w.zadaniach.cz.I.pdf 2.75 na stronie 42 co do podpunktu b) to mam rozumieć, że niepotrzebnie do wspólnego mianownika dawałem. Możesz dwa poprzednie podpunkty też sprawdzić?

Kacper: Jak czytam ten wątek, to nie moge się połapać co i jak

Mila: a) lim _n→∞√n¹⁰−2n²+2=n⁵*√1−(1/n⁸)+(2/n¹⁰=∞

Mila: lim_n→∞ⁿ√2n³−3n²+15= lim_n→∞ⁿ√n³*(2−(3/n)+(15/n²)= lim_n→∞ⁿ√n³*ⁿ√2−(3/n)+(15/n²)= =lim_n→∞ⁿ√n*ⁿ√n*ⁿ√n*ⁿ√(2−(3/n)+(15/n²)=1*1*1*1=1

Mila: Staraj się zapisywać precyzyjnie.

Benny: Wiem, że brakuje tych limesów, ale przy niektórych przykładach to się zlewa. Tak poza tym wszystko ok?

Mila: Popatrz na różnice i będzie dobrze.

Benny: a) u_n=2⁻ⁿ*a*cosnπ

	1
limn→∞2−n*a*cosnπ=limn→∞		*a*cosnπ=0
	2n

ranica wynosi zero, ponieważ mamy iloczyn granicy zbieżnej do 0 i ograniczonej b)

	n*sinn!
un=
	n2+1

	n		n
limn→∞		*sinn!=limn→∞		*sinn!=
	n2+1		1   n(n+ )   n

	1
=limn→∞		*sinn!=0
	1   n+   n

Analogicznie jak wyżej. O to w tym chodzi?

Saizou : a) jest ok jeżeli a jest ustalone, dowolne i w sumie warto napisać że |cosnπ|≤1 czyli ograniczony b) jest ok PS. ciekawsza byłaby granica a_n=2^−a•n•cos(nπ) o ile a jest ustalone

Benny: To przedstaw rozwiązanie