zbiory mat: Zdefiniowac funkcje f swiadczaca o rownolicznosci zbiorow (przedzialow) A=[0,5], B=(0,5). Czyli f:A→B musi byc bijekcja. Jak wyznaczyc taka funkcje?

b.: np. f(x)=x dla x∊(0,5) różnych od 1/n (n=1,2...), f(0) = 1 f(5) = 1/2 f(1/n) = 1/(n+2) dla n=1,2,...

mat: dziekuje a w jaki sposob tworzyc takie funkcje? na co zwracac uwage?

mat: ?

PW: Jak widać z pięknego przykładu podanego przez b, ograniczeniem może być tylko nasz umysł. Mamy zdefiniować funkcję różnowartościową przekształcającą jeden zbiór na drugi. Funkcja ta nie musi być ani ciągła, ani monotoniczna. Ważne żeby każdemu x ze zbioru A coś przyporządkować, i żeby te "coś" pokrywały cały zbiór B i nie powtarzały się.

mat: Dziekuje. A jezeli byloby f: (0,5)∼[0,5]?

mat: ?

Przemysław: Nie jestem specem, ale zdaje mi się, że to by było niemożliwe.

Przemysław: Chociaż nie, chyba się mylę może ktoś inny się odezwie, przepraszam

ICSP:

	1
f(x) = x dla x ∊ (0 , 5) \{		, n ∊ N}
	n

f(1) = 5

	1
f(		) = 0
	2

	1		1
f(		) =		dla n ≥ 3
	n		n − 2

Jednak lepszym pomysłem byłoby zastosowanie twierdzenia Cantora−Bernsteina.

mat: czyli jak mamy funkcje f swiadczaca o rownolicznosci A∼B to funkcja swiadczaca o rownolicznosci B∼A to jest f⁻¹ czyli funkcja odwrotna do f .

mat: Podsumowujac: A=[0,5], B=(0,5) Funkcja swiadczaca o rownolicznosci [0,5]∼(0,5) to: f: A∼B

	1
f(x)=x dla x∊(0,5) \ {		,n∊N+}
	n

f(0) = 1

	1
f(5) =
	2

	1		1
f(		) =		dla n∊N+
	n		(n+2)

Natomiast funkcja swiadczaca o rownolicznosci (0,5)∼[0,5] to: f⁻¹: B∼A

	1
f−1(x)=x dla x ∊ (0 , 5) \ {		,n∊N+}
	n

f⁻¹(1)=0

	1
f−1(		)=5
	2

	1		1
f−1(		)=		, n∊N+
	n+2		n

Zgadza sie?

mat: ?

b.: Zgadza się.

mat: Dziekuje