szereg biedny student: zbadać zbieżnosc szeregu ∞ ∑ ne^(−2nx) n=1 trudne zadnie z egzaminu. jak się za to zabrac ?

vaultboy: Jakbyś mógł to podaj przedział do jakiego należy x, bo zauważ, że jak podstawie za x zero dostaję ∑n=∞ wtedy nie ma zbieżności

vaultboy: Zauważmy, że dla x≤0 szereg jest rozbieżny, Dalej rozważam x>0 Weźmy a, takie, że a>0 Rozważmy x∊[a,∞)

	n		n
wtedy		<
	e2nx		e2na

	n
wystarczy pokazać, że ∑		jest zbieżny
	e2na

Zauważmy, że dla każdego n większego od N zachodzi nierówność

n		1
	<
e2na		n2

Dowód:

	n3
wystarczy pokazać, że		<1
	e2na

	n3
Zauważmy, że lim n→∞		= 0 (można to udowodnić np. z tw. Stolza)
	e2na

	n3
zatem od pewnego momentu wszystkie elementy ciągu		są mniejsze od 1, bo ten ciąg
	e2na

ma granicę = 0.

	n		1
czyli		<
	e2na		n2

	n		n		1
Zatem ∑		<∑		<∑
	e2nx		e2na		n2

	1
∑		jest zbieżny
	n2

	n
Zatem ∑		jest zbieżny na przedziale [a,∞)
	e2nx

	n
Ale a było dowolnie wybrane, zatem implikuje to zbieżność szeregu ∑		na przedziale
	e2nx

(0,∞) Odp: dla x≤0 szereg rozbieżny dla x>0 szereg zbieżny

Saizou : vaultboy a nie powinniśmy brać dowolnych a spełniających nierówność x≥a>0

vaultboy: Nie rozumiem pytania. Jak masz inne rozwiązanie tego zadania to napisz.

Hugo: prawo 3 ciągów