pokazać że
ola: Pokazać że n∊N\{1}
19 maj 18:44
Saizou :
indukcyjnie
19 maj 18:45
ola: Tak, wiem już pisze jak ja to zrobiłam
19 maj 18:45
ola: Dla n=1
| 1 | | 1 | |
L= |
| + |
| w przybliżeniu mi wyszło 1,7 |
| √1 | | √2 | |
P=
√1=1
L>P
19 maj 18:50
19 maj 18:52
Saizou :
dla n=1 mamy
L=P a miało być L>P
Zapis n∊ℕ\{1} sugeruje nam że mamy zacząć indukcję od n=2 czyli to co napisałaś.
Teraz założ że dział to dla pewnego n i pokaż że również zachodzi to dla n+1
19 maj 18:53
ola: Teza
1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| + |
| +...+ |
| + |
| >√n+1 |
√1 | | √2 | | √n | | √n+1 | |
19 maj 18:54
ola: Okej, czyli bierzemy po prostu n=1 i liczymy
19 maj 18:56
Saizou :
indukcja działa jak domino, jeśli jedno przewrócisz to polecą wszystkie
dlatego sprawdzamy dla jakiego n to zachodzi, w tym wypadku dla n=2 sprawdzamy bo tak narzuca
nam zadanie (zapis n∊N\{1}, czyli n=2,3,4,...)
| 1 | |
jeśli n=2 to L=1+ |
| , P=√2 otrzymamy wówczas L>P |
| √2 | |
teraz zakładamy że zachodzi to dla pewnego n, zatem
(zapis dla pewnego jest ważny, bo założymy prawdziwość dla n=2 i pokażemy, że dla n=3 to
zachodzi, a jeśli dla n=3 zachodzi to pokażemy, że zachodzi dla n=4 itd. dlatego to n jest
pewne
)
Pokażemy że zachodzi nierówność
1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| + |
| +...+ |
| + |
| >√n+1 |
√1 | | √2 | | √n | | √n+1 | |
Dowód tezy indukcyjnej:
teraz ty kombinuj
19 maj 19:05
vaultboy: Inne rozwiązanie:
Lemat:
Sumujemy wszystko dla k=1,2,3,...,n
po prawej ∑(
√k−
√k−1) która się na teleskopuje i dostajemy ∑(
√k−
√k−1) =
√n−
√0=
√n
//sumowanie szeregu jest od 1 do n
19 maj 19:09
ola: Dowód
1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| + |
| +...+ |
| + |
| > |
√1 | | √2 | | √n | | √n+1 | |
| 1 | | √n+1*√n+1 | |
√n+ |
| = |
| |
| √n+1 | | √n+1 | |
| √n+1*√n+1 | |
Przypuszczam że |
| ≤√n+1⇔ |
| √n+1 | |
√n+1*
√n+1≤n+1⇔
√n+1*
√n≤n⇔
(n+1)*n≤n
2⇔
n
2+n≤n
2⇔
N≤0
| √n+1*√n+1 | |
sprzeczność czyli przypuszczenie jest fałszywe czyli |
| >√n+1 c.n.d |
| √n+1 | |
19 maj 19:13
ola: Ktoś sprawdzi czy jest Dobrze?
19 maj 19:14
ola: ?
19 maj 21:04
b.: dobrze, z tym że jest to tylko dowód kroku indukcyjnego, a nie pełny dowód początkowej
nierówności
19 maj 21:47
ola: Czyli jak powinnam to zrobić?
19 maj 21:55
b.: Tylko zwracam uwagę, że ,,Dowód'' na początku Twojego postu jest mylący. To nie dowód, tylko
dalsza część dowodu, pierwsza część jest w poście Saizou.
19 maj 23:07
ola: tak, wiem
20 maj 09:18