wlasnosci liczb 5-latek: Zadanie : Udowodnij ze jeżeli n jest liczba naturalna wieksza od 4 to miedzy liczbami n i 2n zawarta jest przynajmniej jedna liczba naturalna która jest kwadratem liczby naturalnej . Tu nie wiem jak

5-latek: Prosilbym z komentarzem Podziekuje jak wroce , bo muszse pilnie wyjechać

J: Cześć ja bym zrobił tak: n < n + 1 < 2n n² < n² + 2n + 1 < 4n² i wystarczy pokazać,ze dla n >4 4n² > n² + 2n + 1

5-latek: Jeśli jutro może spojrzysz na to to poproszse Cie o dalszse wskazówki Czy tutaj należy zastosować zasade indukcji matematycznej do pokazania tego ?

vaultboy: Zbadajmy różnicę dwóch kolejnych kwadratów (k+1)²−k²=2k+1 Niech A² będzie najbliższym kwadratem liczby naturalnej znajdującym się po lewej stronie na osi liczbowej od liczby n. Wystarczy pokazać, że (A+1)² trafia do przedziału <n,2n>. Oznaczmy n=A²+r_n wtedy zgodnie z przyjętą konwencją r_n jest możliwie najmniejszą liczbą (dla każdego n) 2n=2A²+2r_n Wystarczy zbadać nierówności n≤(A+1)²≤2n ⇔ A²+r_n≤A²+2A+1≤2A²+2r_n ⇔ r_n≤2A+1≤A²+2r_n To już oczywiście są prawdziwe nierówności. Szybkie uzasadnienie: r_n≤2A+1 jest prawdziwa, bo gdyby r_n>2A+1 to wtedy A² nie byłoby najmniejszym kwadratem, bo n=A²+r_n>A²+2A+1=(A+1)² istniałby bliższy kwadrat druga nierówność, czyli 2A+1≤A²+2r_n jest prawdziwa bo funkcja kwadratowa jest znacząco większa niż liniowa (troche z dupy uzasadnienie, ale to chyba widać. Warunek n>4 tutaj się załatwia sprawę)

5-latek: Postaram się to zrozumieć . Naprawde . Natomiast w książce mam tak n,k∊N i n<k²<2n ⇔(n,k∊ N i √n<k<√2n to jest dla mnie zrozumiale Jeżeli p{2n−√n>1 to liczba k istnieje √2n−√n>1wtw √n>√2+1wtw n>3+2√2 (tego przekształcenia nie rozumiem Potem mamy dalej Ale 6>3+2√2>5 (wiec mamy udowodnine dla n≥6 Dla n=5 jest 5<9<10 wiec k=3

5-latek: Nie czaje tego przekształcenia konkretnie to √2n−√n>1⇔√n>√2+1 bo dalej to widze ze to jest podnoszsenie do kwartatu

J: Cześć

	1
√2n − √n > 1 ⇔ √2*√n − √n > 1 ⇔ √n(√2−1) > 1 ⇔ √n >
	√2 − 1

⇔ √n > √2 + 1

5-latek: Witaj Dzieki Wlasnie przed chwila pomyslaem zeby ten pierwiastek rozbic na dwa . Zostawiam teraz to bo nie mysle . Za dużo na glowie