Granice. Krysicki tom 2 zad. 1.10 Matt: Witam. Mam problem ze zrozumieniem fragmentu rozwiązania poniższego zadania. Zad 1.10

	x2 * y
Zbadać istnienie granicy funkcji k(x,y) =		w punkcie (0,0).
	x2 + y2

Rozwiązanie. Funkcja nasza określona jest na całej płaszczyźnie z wyjątkiem punktu (0,0). Niech x_n i y_n będą dowolnymi ciągami zbieżnymi do zera takimi, że x_n i y_n nie są równocześnie równe zeru, czyli x_n² + y_n² > 0 dla każdego n. Oznaczmy a_n = max( |x_n|,|y_n| ) > 0 . Wówczas |x_n² * y_n| ≤ a_n³ oraz x_n² + y_n² ≥ a_n², a zatem 0 ≤ |k(x_n,y_n)| ≤ a_n. Ponieważ a_n → 0, gdy n → ∞, a więc stosując twierdzenie o trzech ciągach mamy lim k(x_n,y_n) = 0 dla n → ∞. Na podstawie definicji Heinego lim k(x,y) = 0. Nie rozumiem drugiego znaku nierówności w 0 ≤ |k(x_n,y_n)| ≤ a_n dlaczego jest ≤ zamiast < ? Nie udało mi znaleźć takich x_n i y_n dla których funkcja k = a_n. Czy można wtedy użyć znaku ≤ ? Gdyby wstawić znak < zamiast ≤ , czy nadal dałoby się zastosować twierdzenie o trzech ciągach? Wiemy, że a_n → 0. Dziękuję za pomoc.

PW: Niepotrzebnie się nad tym zastanawiasz. Jeżeli a < 5, to tym bardziej a ≤ 5, więc badanie czy może w tym konkretnym wypadku mieć miejsce równość i kiedy, jest niecelowe − założenia twierdzenia o trzech ciągach są spełnione.

Matt: Czyli 0 ≤ |k(x_n,y_n)| ≤ a_n oraz 0 ≤ |k(x_n,y_n)| < a_n dają to samo jeśli wiemy, że k =/= a_n oraz a_n → 0. A z tego wynika, że do zapisu 0 ≤ |k(x_n,y_n)| < a_n można zastosować twierdzenie o trzech ciągach (jednak powstaje problem bo 0 ≤ |k(x_n,y_n)| < 0, ale z drugiej strony a_n =/= 0, jest odrobinę od niego większe). Prawda? Wiem, że to straszne detale ale interesuje mnie czy to poprawne z logicznego punktu widzenia.