równania różniczkowe 1 rzędu ciastko: Rozwiąż równania różniczkowe 1 rzędu: a) y' = x² + y

	y
b) y' +		= 4x2
	x

c) y' = 2xy +x d) y' − y = e^x + 1 Niby praca domowa, ale na zajęciach były zrobione zaledwie 2 przykłady i niestety za bardzo nie wychodzi, z góry dziękuję za pomoc

ZKS: To próbuj rozwiązać można będzie Ciebie pokierować jak coś.

J: a) liniowe niejednorodne : y' − y = x² najpierw rozwiąż: y' − y = 0 , potem uzmiennianie stałej

J:

	y
b) równanie jednorodne ... podstawienie: u=
	x

c) i d) analogicznie do a)

Godzio: Albo: y' − y = x² czynnik całkujący: μ = exp(∫(−1)dx) = e^−x Mnożymy równanie przez μ y'e^−x − e^−xy = x²e^−x (ye^−x)' = x²e^−x ye^−x = ∫x²e^−xdx = −x²e^−x + 2∫xe^−xdx = − x²e^−x − 2xe^−x − e^−x + C y = − x² − 2x − 1 + Ce^−x Wszystkie równania idą tą metodą.

ZKS: Zrobię jeden podpunkt. c) y' = 2xy + x y' = x(2y + 1)

	dy
∫		= ∫ xdx
	2y + 1

1		x2
	ln|2y + 1| =		+ C
2		2

2y + 1 = Ce^x2

	Cex2 − 1
y =
	2

Godzio: Ogólna metoda rozwiązywania równań: y' + f(x) * y = g(x) μ = exp(∫f(x)dx) y' * exp(∫f(x)dx) + f(x)exp(∫f(x)dx) * y = g(x)exp(∫f(x)dx) (y * exp(∫f(x)dx) )' = g(x) * exp(∫f(x)dx) y * exp(∫f(x)dx) = ∫ [ g(x) * exp(∫f(x)dx) ]dx y = exp(−∫f(x)dx) * ∫ [ g(x) * exp(∫f(x)dx) ]dx

Godzio: Co do mojego rozwiązania y = ... + Ce^x

Mariusz: J: b) jednorodne chyba jednak nie Wszystkie równania są liniowe

J: tak ... pospieszyłem się