Cw. rachunkowe i wlasnosci liczb 5-latek: To zadanie jest trudne Tresc: Podaj takie dwie cyfry x i y aby liczba xxyy była kwadratem liczby naturalnej Ta liczba jest zapisana tak w zadaniu

Kacper: 1000x+100x+10y+y=n² 1≤x≤9 i 0≤y≤9 1100x+11y=n² Można sprawdzać wszystkie lub próbować wymyślić jakiś podstęp

5-latek: Czesc Po kolei etraz żeby to zalapal ta liczbe zapisales w postaci 1000x+100x+10y+y i jeśli na być kwadratem liczby naturalnej to zapisales ze rowna się ona jakies n² . Ale rownie dobrze mogles zapisac ze rowna się ona k² czy g² (tak? Teraz wytłumacz mi co to sa za warunki 1≤x≤9 i 0≤y≤9

Kacper: Pierwsze pytania − odpowiedź: tak No bo mają być cyfry te x i y. Liczba nie może zaczynać się od 0, dlatego x≥1, a potem zera mogą być

b.: podzielność przez 11 pozwala zmniejszyć liczbę przypadków

5-latek: Tak jakos tez intuicyjnie wyczuwałem ze tak ma być . Wiec dzięki za potwierdzenie mojego przekonania . Teraz dodales 1000x+100x = 1100x i 10y+y=11y i zapisales to tak 1100x+11y=n² . Dlaczego tak zapisales ? Żeby było lepiej do liczenia przy podstwawianiu

irena_1: 1100x+11y=11(100x+y) Liczba 100x+y musi dzielić się przez 11 i ostatnia cyfra (y) to 0, 1, 4, 9, 6 lub 5 11(100+y)=11(99x+x+y) Przez 11 musi dzielić się liczba x+y − takimi liczbami są x=7 i y=4 7744=88²

irena_1: (xxyy)₁₀=1000x+100x+10y+y=110x+11y=11(100x+y)

Mila: Zadanie z olimpiady.

5-latek: Irenko ten ostatni zapis rozumiem ze to zapisana liczba w systemie dziesiatkowym Wracajac do postu 20:40 pierwsza linijka zrozumiala następne już nie bardzo Najpierw to liczba 100x+y musi dzielic się przez 11 (dlaczego ? i czemu ostatnia cyfra y to 0,1 4 9 6 lub 5

5-latek: Milu nie jest to zadanie z olimpiady Zadanie ze zbioru Aniela Ehrenfeucht i Olga Stande (tylko oznaczone jako trudne

Mila: Mam na myśli to, że kiedyś było na olimpiadzie dla uczniów GM.

5-latek: A rozumiem . Możesz to mi wytlumaczyc (nie chce zagladac do odpowiedzi pewnie tam jest ale chce to zalapac bez zaglądania (chodzi post 20;50

5-latek: Sugerujac się postem b z 20:35 znalazłem ceche podzielności przez 11 a mianowicie taka jeśli od sumy liczb stojących na miejscach parzystych odejmiemy sume liczb stjacych na miejscach nieparzystych i dostaniemy liczbe podzielna przez 11 to ta liczba jest podzielna przez 11 Tylko czy ta cecha się przyda w tyn zadaniu ?

Mila: 1100x+11y=11(100x+y) Aby liczba 1100x+11y była kwadratem pewnej liczby naturalnej to musi zachodzic warunek: 100x+y=11*k² gdzie : 10<k²<90 ============= Liczymy na piechotę: k² || 11k² ============= 1)16 176 liczba nie jest postaci 100x+y 2) 25 275 nie 3)36 396 nie 4)49 539 nie 5) 64 704=100*7+4 tak, szukana liczba to 11*704=7744 6) 81 891 nie =================== Poszukiwana liczba to : 11²*8²=7744

5-latek: Milu na razie dziekuje Ci Jutro po pracy to sobie dokładnie przeanalizuje . Potem dopiero wstawie następne zadania

Mila:

b.: > Tylko czy ta cecha się przyda w tyn zadaniu ? Raczej nie.

5-latek: Milu Post 21:28 gdzie 10<k<90 dlaczego tak ?

5-latek: miało być 10<k²<90

ZKS: Wydaje mi się, że 11 * k² ma być liczbą trzycyfrową, więc jeżeli k² = 9 to 11 * 9 = 99 tak samo, jeżeli k² = 91 11 * 91 = 1001.

5-latek: Wybacz ale tego nie rozumiem . Trudno . Napiszse CI rozwiązanie ze zbiorku którego tez w pewnym momencie nie rozumiem . A wiec xxyy= 1000x+100x+10y+y= 11(100x+y)=k² Ponieważ 11 jest liczba pierwsza wiec 100x+y musi być wielokrotnoscia 11 ; ale 100x+y= 99x+x+y wiec x+y musi być wielokrotnoscia 11 . Po co to tak rozpisali ? Ponieważ 1≤x≤9 0≤y≤0 ======== 1≤x+y≤18 a od tego momentu to już calkiem nie weim jak zatem x+y=11 xxyy= 11²(9x+1)=k² To już rozumiem Podstawiajac za x kolejno 1,2 3 ...9 stwierdzamy ze jedynie dla 7 liczba 9x+1 jest kwadratem liczby naturalnej stad x=7 i y=4 szukana liczba to 7744= 88²

Mila:

Mila: Tak , miało być k², ZKS już napisał dlaczego.

ZKS: Rozpisali 100x + y na 99x + x + y, aby otrzymać wielokrotność 11. 11 * 9x + x + y zatem zostało nam tylko x + y, które musi być wielokrotnością 11, więc x + y = 11, ponieważ 1 ≤ x ≤ 9 ∧ 0 ≤ y ≤ 9 (po dodaniu) 1 ≤ x + y ≤ 18, aby liczba x + y była wielokrotnością 11 musi być równa 11 bo 22 > 18, czyli nie spełnia założenia x + y ≤ 18. 11 * (100x + y) = 11 * (99x + x + y) = 11 * [11(9x + 1)] = 11²(9x + 1). Rozumiesz?

5-latek: Tak rozumiem dziekuje CI bardzo

ZKS: Na zdrowie.

ZKS: Można by dalej tak zapisać, aby ułatwić szukanie x. 9x + 1 = n² 9x = n² − 1 9x = (n − 1)(n + 1) n − 1 = 9 ∨ n + 1 = 9 n = 10 ∨ n = 8 9x + 1 = 100 ∨ 9x + 1 = 64 x = 11 sprzeczność ∨ x = 7

5-latek: No tak Kiedys Mila wrzucila w formacie doc na forum zadanka z teorii liczb . Muszse je zanlezc i pocwiczyc liczenie takich zadań .