Funckje różniczkowe Nilred: Dobry wieczór Treść: Określ liczbę miejsc zerowych funkcji g(x)=|2x³ + 3x² − 12x| − m w zależności od wartości parametru m Proszę o pomoc

Kacper: Co to są funkcje różniczkowe?

Nilred: Przepraszam, zastosowałem skrót myślowy, który mógł nie zostać zrozumiany. Chodzi mi o funkcje przerabiane w temacie "rachunek różniczkowy"

Kacper: Najpierw naszkicuj wykres funkcji f(x)=|2x³+3x²−12x|.

Nilred: Mogę naszkicować wykres f(x)=2x³+3x²−12x a dopiero później dać wartość bezwzględną, tzn odbić?

Kacper: Tak

Nilred: Więc 1) Df=R, f(0)=0, f(x)=0 dla x=0 lub x= (−3 − pierwiastek ze 105)/4 x= (−3+pierwiastek ze 105)/4

Nilred: 2) limes przy x dążącym do + nieskończoności= + nieskończoność a przy x dążącym do − nieskończoności= − nieskończoność

Nilred: 3) f'(x)= 6x² + 6x − 12 ⇒ 6(x+2)(x+1) ymin= f(−2)= 20 ymax=f(−1)=−11

Nilred: Popraw mnie proszę, jeśli popełniam gdzieś błąd

Nilred: Wychodzi mi, że funkcja maleje od dla x(−1,−2) i wartości zmierzają od −11 do 20, więc coś mi nie wyszło

Kacper: lim_x→−∞f(x)=−∞ lim_x→+∞f(x)=+∞ Funkcja ma 2 ektrema lokalne: − maksimum w punkcie −2 − minimum w punkcie 1 To wystarczy nam do rozwiązania zadania

Nilred: maksimum wynosi 20 a minimum − 11, tak?

Nilred: narysowałem tabelkę i z tabelki odczytuje że funkcja malejąc przy x od − 1 od −2, przyjmuje wartości od −11 do 20...

Kacper: Minimum −7, a maksimum 20.

Nilred: rzeczywiście, minimum w punkcie 1, jeszcze raz spróbuje narysowac

Nilred: więc dla m=0 mamy 3 miejsca zerowe

Nilred: dla m ∊(− nieskończoności do 0) mamy 0 miejsc zerowych

Nilred: dla m∊<0;7) mamy 6 miejsc zerowych

Nilred: dla m∊<7;20) mamy 5 miejsc zerowych

Nilred: to z m∊<7;20) to nieprawda, m=7 5 miejsc zerowych, m∊(7:20) to 4 miejsca zerowe

Nilred: dla m=20 mamy 3 miejsca, i m∊(20; +nieskończoności) mamy 2

Nilred: dobrze?

Kacper: Dla m=0 jest 6 czy 3? Bo do dwóch przedziałów podałeś. Co z m>20 i m=20?

Nilred: m=20 mamy 3, m>20 mamy 2. m=0 to 3

Kacper: To teraz ok.

Nilred: Dziękuję za pomoc, a raczyłbyś spojrzeć na jeszcze jedno moje zadanie? Dla jakich wartości parametru a funckja f(x)= ax³ + (3−2a)x² − 4x +3 jest rosnąca w przedziale <1/3 ; 2> ?

Benny: Moim zdaniem funkcja będzie rosnąca w danym przedziale, jeśli ekstrema lokalne będą równe

	1
		oraz 2
	3

Dostajemy: f'(x)=3ax²+(6−4a)x−4 korzystam z wzorów Viete'a na iloczyn miejsc zerowych

−4		2
	=
3a		3

a=−2