Bardzo proszę o pomoc, PILNE Szewczu: Na Δ równobocznym o boku=1 opisano okrąg wykaż, że dla dowolnego M, tego okręgu zachodzi równość |MA|² + |MB|² + |MC|² = 2 zadanie trzeba rozwiązać stosując wektory, bardzo proszę o pomoc

Szewczu: Błagam was ludzie

Kacper: Rysunek Jeśli Punkt M pokrywa się z którymś z wierzchołków, to tezę widać od razu Jeśli M≠A i M≠B i M≠C, to: czworokąt ABCM jest wpisany w okrąg i zachodzi twierdzenie Ptolemeusza: |AM|*|BC|=|AC|*|BM|+|AB|*|CM| |AM|=|BM|+|CM| |² |AM|²=|BM|²+|CM|²+2|BM|*|CM| (*) Z tw. cos w trójkącie BMC mamy: 1²=|CM|²+|BM|²−2|CM|*|BM|*cos(∡CMB)=|CM|²+|BM|²+|CM|*|BM| 2=2(|CM|²+|BM|²+|CM|*|BM|) (**) (**) − (*) |AM|²+|BM|²+|CM|²=2 c.k.d Nie bardzo chce mi się myśleć nad innym rozwiązaniem.

Kacper: Skąd to zadanie?

Szewczu: Dostałem od mojego profesora. Dziękuję bardzo za pomoc

Kacper: Zapytaj o dowód z użyciem wektorów i napisz do mnie 8959267. Chyba, że wcześniej sam go sobie wymyślę

Kacper:

Szewczu: masz?

Mila: To studia, czy LO?

Kacper: Mila masz może jakiś pomysł na to zadanie inny niż mój? − To liceum.

YushokU: A jakby to wrzucić w układ współrzędnych? Nie podejmuję się rozwiązania, bo jutro ustny polski, ale będę śledził.

Kacper: Yushoku zapewne pójdzie, ale autor chciał rozwiązania przy użyciu wektorów i nad nim myślę. Zresztą cięzko powiedzieć o jakie zastosowanie wektorów dokładnie chodziło.

PW: Może o taką sztuczkę, której nie umiem dokończyć ale jest to jakiś pomysł: Niech S oznacza środek okręgu opisanego. MA^→ = MS^→+SA^→, a więc po "podniesieniu skalarnie do kwadratu" MA² = MS² +2MS^{→ o}SA^→ + SA² i analogicznie MB² = MS² +2MS^{→ o}SB^→ + SB² MC² = MS² +2MS^{→ o}SC^→ + SC². Wiadomo, że MS² = 1. zatem MA² +MB² +MC² = 3 + 2MS^{→ o}(SA^→+SB^→+SC^→). Dalej coś się zaciąłem, ale chyba blisko.

PW: A jeszcze tu strzeliłem głupstwo: MS² wcale nie jest równe 1, bo promień okręgu opisanego jest równy ...

PW:

	1
MS2 = SA2=SB2=SC2 =		, a więc po zsumowaniu tych trzech równości otrzymamy:
	3

	1
MA2+MB2+MC2 = 6·		+2MS→ o(SA→+SB→+SC→)
	3

MA²+MB²+MC² = 2 + 2MS^→ o(SA^→+SB^→+SC^→), czyli wystarczy pokazać, że suma wektorów w nawiasie jest wektorem zerowym.