Równanie różniczkowe Bernoulliego. Piotr: Witam, kompletnie nie wiem jak się za to równanie zabrać. Czy mógłby ktoś pomóc? t ^dy_dt − 4y = t² √y

J:

	dy		4
⇔		−		y =t*y1/2 i dzielimy obuistronnie przez: y1/2
	dt		t

	dy		4
⇔ y−1/2		−		y−1/2 = t ....
	dt		t

	du		1		dy
podstawienie: u = y1/2 oraz		=		y−1/2
	dt		2		dx

podstawiamy do równania wyżej:

J:

	du		4
...2		−		*u = t
	dt		t

i masz równanie liniowe niejednorodne

Piotr: Przepraszam, czy mógłbyś to dokładniej rozpisać? Skąd się co bierze itd.

J: a czego nie rozumiesz ? w pierwszym kroku dzielimy obustronnie przez t w drugim dzielimy obustronnie przez y^1/2 (*)

	dy		du
w trzecim stosujemy podstawienie: u = y1/2 stąd: y−1/2		= 2
	dt		dt

podstawiamy do równania: (*) i otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne

Piotr: Nie wiem skąd biorą się wszystkie podstawienia

Piotr: Jest postawienie du/dx a w przykładzie jest du/dx

J:

	du		1		dy
u = y1/2 wtedy:		=		y−1/2		... ( niechcący napisałem dx )
	dt		2		dt

	du		dy
⇔ 2		= y−1/2		... i podstawiasz do równania: 12:17 .. druga linijka
	dt		dt

Piotr: Czyli wyjdzie 2 ^du_dt − ⁴_t * u = y^{−1₂ dy}_dt − ⁴_t * y I to już wszystko?

J:

	du		4		du		2
najpierw równanie jednorodne: 2		−		*u = 0 ⇔		=		dt
	dt		t		u		t

całkujemy obustronnie: lnIuI = 2lnItI + C = lnIt² + lnC₁ = lnIC₁*t²I mamy: u = C₁*t²

	du
teraz uzmienniamy stałą: u = C1(t)*t2 oraz:		= C1'(t)*t2 + 2t*C1(t)
	dt

podstawiamy do równania jednorodnego i otrzymujemy:

	4
2*C1'(t)*t2 + 4t*C1(t) −		*C1(t)*t2 = t ⇔ 2*C1'(t)*t2 = t
	t

	1		1
⇔ C1'(t)*t2 =		t ⇔ C1'(t) =
	2		2t

	1
teraz całkujem: C1(t) =		lnItI + C2 ,
	2

	1
zatem : u = C1(t)*t2 = (		lnItI + C2)*t2
	2

wracamy do funkcji wyjściowej:

	1		1
y1/2 = (		lnItI + C2)*t2 ⇔ y = (		lnItI + C2)*t4 ... rozwiązanie
	2		2