Rozwiąż nierówność Marta: ¹₂³x + 64 < ¹₂^x−2 * (1+ 2²x−4

M:

Little Mint: Według mnie nierównośc pewnie wygląda tak ¹₂^3x+64<¹₂^x−2(1+2^2x−4)

Little Mint: zapiszę to sobie tak 2^−3x+64<2^−x−2*2^2x+6 2^−3x−2^−x+2*2^2x+58<0≥ 2^−3x=(2^x)⁻³ 2^−x=(2^x)⁻¹ 2^2x=(2^x)² więc 2*2^2x=2*(2^x)² Zrobie podstawienie 2^x=t i t>0 t⁻³−t⁻¹+2t²+58<0

1		1
	−		+2t2+58<0
t3		t

Założyłem że t>0 więc moge to pomożyc przez t³ bez zmiany znaku nierówności 1−t²+2t⁵+58t³<0 2t⁵+58t³−t²+1<0 Nie ma pierwiastków wymiernych Nierównośc nie ma rozwiązania w liczbach R Proszę sprawdzić czy jest dobrze?

ite: Zupełnie nie wiadomo, jak ta wyjściowa nierówność miała wyglądać. Bez nawiasów, niedokończona. Ale ciekawi mnie, dlaczego dla tego wielomianu piątego stopnia z tego, że nie on nie ma pierwiastków wymiernych, ma wynikać, że nierówność z tym wielomianem nie ma rozwiązań rzeczywistych?

Little Mint: ite na chwilę obecną nie wiem jak ją rozwiązać Czy tutaj zastosować jakieś przybliżone metody (Newtona czy inne?

Mariusz: Little Mint bawiłeś się funkcjami hipergeometrycznymi Rozwiązanie równania x(1−x)y'' + (c−(1+a+b)x)y' − ab y = 0 Jeżeli zastosujesz metodę szeregu potęgowego do tego równania to otrzymasz funkcję hipergeometryczną Co do metod numerycznych to tak wielomian jest nieparzystego stopnia więc ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty więc możesz bawić się metodą Newtona Można też policzyć wartości własne macierzy 0 −29 −0.5 0 0.5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Teraz do tej macierzy stosujesz metodę QR z przesunięciami A₀ = Q₀R₀ A_i − sI = Q_iR_i A_i+1 = R_iQ_i + sI W Numerical recipes in C masz gotowca Gotowiec z Numerical recipes daje następujące przybliżone rozwiązanie równania t=−0.252541 i jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste Do sześciu miejsc po przecinku bo ten gotowiec używa liczb typu float

Mariusz: Choć nie wiem czy nie lepiej zdefiniować funkcje hipergeometryczne od razu szeregiem

	(an)(bn)	xn
2F1(a,b,c;x) = ∑n=0∞
	(cn)	n!

Ta dwójka z przodu prawdopodobnie oznacza liczbę górnych silni w liczniku a ta jedynka prawdopodobnie oznacza liczbę górnych silni w mianowniku Funkcyj hipergeometrycznych podobno użył Klein w swoim rozwiązaniu Może dotrzesz do jego rozwiązania równania 5. stopnia Są też inne sposoby rozwiązywania takich równań Równanie piątego stopnia a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ = 0 można sprowadzić do postaci x⁵ + px + q = 0 stosując przekształcenie Tchirnhausena Nie bawiłem się tym ale podobno wymaga ono rozwiązania jednego równania czwartego stopnia Po podstawieniu x = rt można to równanie sprowadzić do postaci t⁵ + t + A = 0 Po sprowadzeniu do tej postaci jednym z rozwiązań równania piątego stopnia będzie

	1		2		3		4		1		3		5		5A
x1= −A* 4F3(		,		,		,		;		,		,		;−5*(		)4)
	5		5		5		5		2		4		4		4

Mariusz: Tu oczywiście literówka i powinno być Tschirnhausena Jak chcesz poszukać czegoś to proponuję Tschirnhausen transformation Lagrange inverse theorem Bring radicals

Little Mint: Dziękuje Mariusz za cięzką pracę. Miałłem tylko metody przybliżone .Może przyda sie to komuś innemu