Udowodnij, że... rado123: Liczby a,b,c sa dodatnie.

	a		b
a) Udowodnij, ze		+		= ≥2
	b		a

b) Udowodnij, że jeżeli a+b+c=6, to abc≤8

PW: Oba rozwiązuje się w jednej linijce stosując nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną.(dla 2 lub dla 3 składników).

Janek191: a) a > 0 i b > 0 Dla dowolnych a , b ∊ ℛ ( a − b)² ≥ 0 a² − 2 a*b + b² ≥ 0 a² + b² ≥ 2a*b / : (a*b)

a		b
	+		≥ 2
b		a

ckd.

Eta: Z nierówności między średnimi am−gm

	a   a   +   b   b		a		b
1/		≥√		*		= 1
	2		b		a

	a		b
to:		+		≥2
	b		a

c.n.u 2/ podobnie

	a+b+c		6
3√a*b*c≤		=		=2
	3		3

³√abc≤2 ⇒ abc≤ 8 c.n.u

pigor: ..., z założenia a+b+c = 6 i z nierówności między średnimi g ≤ a : b) ³√ abc ≤ ¹₃(a+b+c) = ¹₃*6 ⇒ ³√abc ≤ 2 / ³ ⇒ ⇒ abc ≤ 2³ ⇔ abc ≤ 8 . ... c.n.u .

PW: No to trzeci sposób na a):

a
	= x > 0
b

Udowodnić, że nierownośc

	1
x +		≥ 2
	x

jest prawdziwa dla wszystkich x > 0 (sprowadza się do nierówności kwadratowej w zbiorze (0,∞)).

Eta:

rado123: Nie ma innego sposobu na b) niż to z różnicami międzi średnimi?

Daniel: Udowodnij, ze jezeli pewne dwie liczby ab+b+1, bc+c+1, ca+a+1 sa rowne 0, to takze trzecia z nich jest rowna 0.

Mietek z fabryki żyletek: https://omj.edu.pl/uploads/attachments/19omj-1etap.pdf złodzieju intelektualny , nawet jak pojedziesz na II etap OMJ to i tak zero punktów zdobędziesz