monotoniczność ciągu sylka: zbadaj monotoniczność ciągu a_n=(³ⁿ_n+1)ⁿ⁺³

Basia: Pomagam

sylka: koffana jesteś Basiu ty się z tym darem do matmy już urodziłaś czy może da się tego po prostu nauczyć?

Nikka: można się nauczyć zależy na jakich nauczycieli się trafi

sylka: to ja musiałam mieć strasznie złych bo prawie nic się nie nauczyłam a to co się nauczyłam zdążyłam już zapomnieć

mario: trzeba być pilnym na zajęciach

Nikka: dla mnie matma była bardzo interesującym przedmiotem − mało nauki ( w porównaniu do historii np. )

Basia: a_n+1 = (³⁽ⁿ⁺¹⁾_n+1+1ⁿ⁺¹⁺³ = (³⁽ⁿ⁺¹⁾_n+2)ⁿ⁺⁴ = (³⁽ⁿ⁺¹⁾_n+2)ⁿ⁺³*(³⁽ⁿ⁺¹⁾_n+2)

an+1
	=
an

3n+3*(n+1)n+3		3(n+1)		(n+1)n+3
	*		*		=
(n+2)n+3		n+2		3n+3*nn+3

	(n+1)(n+1)		3(n+1)
(		)n+3*		=
	n(n+2)		n+2

	n2+2n+1		3n+3
(		)n+3*
	n2+2n		n+2

ponieważ

	n2+2n+1		n2+2n+1
n2+2n+1>n2+2n ⇒		> 1 ⇒ (		)n+3 >1
	n2+2n		n2+2n

(3n+3)−(n+2) = 2n+5 > 0 ⇒ 3n+3>n+2 ⇒ ³ⁿ⁺³_n+2 > 1 stąd

an+1
	> 1*1 = 1
an

a_n+1 > a_n dla każdego n∊N ciąg jest rosnący

mario:

sylka: mario ja wiem że nad poziomem mojej wiedzy to tylko płakać ale bez przesady niedługo całe forum podtopisz

Nikka: Basiu a czemu dzieliłaś? Zdaje się, że w treści nie ma nic, że to ciąg geometryczny...

Basia: Zdradzę Wam pewną tajemnicę. Matematykę kochają Ci (i na ogół tylko Ci), których już we wczesnym dzieciństwie nauczono logicznego myślenia. Miałam oczywiście ukochanego misia (nawet dwa, ale drugi już nie był taki ukochany), ze trzy lalki, tonę książek i tonę zabawek, które teraz nazywają się edukacyjne, i które wymagały po prostu kombinowania (układanki itp.). Jeśli się tego nie nauczymy w dzieciństwie potem jest to już bardzo trudne, chociaż nie niemożliwe. Nauczyciele nie mają na to zwyczajnie czasu.

Basia: Bo łatwiej, a monotoniczność można też wykazać, jeżeli się udowodni, że

an+1
	> 1 ⇒ an+1 > an ⇒ rosnący
an

an+1
	<1 ⇒ an+1<an ⇒ malejący
an

z tym, że dotyczy to wyłącznie ciągów o wyrazach dodatnich. Tam gdzie występuje potęgowanie ze zmienną w wykładniku, zazwyczaj łatwiej policzyć iloraz niż różnicę.

plastuś: Racja 100% − wa Mnie od dzieciństwa pociągała mania liczb , zawsze coś ciekawego w nich widziałam. Układałam patyczki w przeróżne figury , dodawałam , przestawiałam i kombinowałam Układałam rebusy ( liczbowe) ..... cieszyło mnie jak ktoś z domowników się głowił by je rozwiązać , tak oto w ten sposób uczyłam się logicznego myślenia, no i z uporem maniaka jak coś nie wychodziło?...... nie odpuszczałam , aż do skutku Tak więc powodzenia w zgłębianiu matematycznej wiedzy