Całki oznaczone Freyja: Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch całek: 1. (przedział od −1 do 0): ∫^dx_√x²−x Tu bardzo prosiłabym również o pokazanie metody na obliczenie całki nieoznaczonej z tej funkcji, bo bardzo się zagubiłam próbując to rozwiązać. 2. (przedział od e do ∞): ∫^dx_x(lnx−1) Tu oczywiście wiem jak całkować, ale gubię się przy podstawianiu wartości. Z góry piękne dzięki

ledzeppelin20: 2. lnx−1=t

1
	dx=dt
x

	dt
∫		=lnt+C=ln(lnx−1)+C
	t

ledzeppelin20: przy podstawieniu trzeba to zrobic jak całka niewłaściwa tzn. lim ln(lnx−1)(w granicach) = lim ln(lnT−1) − [ln(lne−1)]=lim ln(lnT−1)−[ln(1−1)]=∞+∞ T→∞

Freyja: Dziękuję pięknie

J: spróbuj podstawienie Eulera t − x

ledzeppelin20: 1.

	1		1
x2 − x = (x −		)2 −
	2		4

	dx		1   x−   2
∫		= arcsin(		) + C
	1   1   √(x− )2 −   2   4		1   4

Freyja: A czy arcsin nie będzie tylko wtedy, kiedy przy x jest minus? Bo moja mała ściąga ze wzorami mówi, że żeby zastosować arcsin to pod pierwiastkiem powinno być a²−x²... Ale być może ja mam po prostu błąd we wzorach?

ledzeppelin20: no tak ale jak wyprowadzisz − przed to będziesz miał tą postać

Freyja: Ale nie mogę wyprowadzić minusa od tak sobie, przecież on zostanie pod pierwiastkiem, nadal przeszkadza Swoją drogą doszłam do czegoś takiego: Doprowadzam to do takiej postaci jak wyżej. Potem za x−¹₂ podstawiam: x = ¹_2cost, pod dx=^sint_2cos²t. Rozwiązuję to i dochodzę do postaci: ∫¹_costdt = ∫{cost}{cos²t}dt = ∫{cost}{1−sin²t}dt. Podstawiam u=sint, du = costdt. Otrzymuję: ∫^du_1−u². I to rozbijam na ułamki proste. Tylko po pierwsze, nie wiem czy nie przekombinowałam, a po drugie, koleżanka twierdzi, że wynik powinien wyjść ¹₂(ln|1+x|−ln|1−x|), a mnie się z kolei wydaje, że powinien być + zamiast minusa między logarytmami. I teraz już nie wiem D:

Freyja: Miało być ∫¹_costdt = ∫^cost_cos2tdt = ∫^cost_1−sin2tdt.

Freyja: A tu miało być ¹₂(ln|1+u|−ln|1−u|)