monotoniczność wrrr: !funkcja rosnąca i malejąca! zbadaj monotoniczność (gdzie funkcja jest rosnąca) a gdzie malejąca a) −2x/ (1+x²)² miejsce zerowe = 0 b) −2 (1−3x²) / (1+x²)³ miejsca zerowe − 1/√3 i 1/√3

Basia:

	−2x
f(x) =
	(1+x2)2

x∊R

	−2(1+x2)2−2*(1+x2)*2x
f'(x) =		=
	(1+x2)4

−2−2x2−4x−4x3
	=
(1+x2)4

U{−4x³−2x³−4x−2}{{(1+x²)⁴} mianownik jest stale dodatni zajmujemy się tylko licznikiem −4x³−2x²−4x−2=0 −4x(x²+1)−2(x²+1)=0 (x²+1)(−4x−2)=0 −4x−2=0 −4x=2 x=−¹₂ znak pochodnej zależy tylko od znaku wyrażenia −4x−2 bo mianownik i czynnik x²+1 są stale dodatnie −4x−2<0 ⇔ −4x<2 ⇔ x>−¹₂ −4x−2>0 ⇔ −4x>2 ⇔ x<−¹₂ x∊(−∞;−¹₂) ⇒ f'()>0 ⇒ f(x) rosnąca x∊(−¹₂;+∞) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) malejąca drugie analogicznie

Basia:

	−2x
f(x) =
	(1+x2)2

x∊R

	−2(1+x2)2−2*(1+x2)*2x
f'(x) =		=
	(1+x2)4

−2−2x2−4x−4x3
	=
(1+x2)4

U{−4x³−2x³−4x−2}{{(1+x²)⁴} mianownik jest stale dodatni zajmujemy się tylko licznikiem −4x³−2x²−4x−2=0 −4x(x²+1)−2(x²+1)=0 (x²+1)(−4x−2)=0 −4x−2=0 −4x=2 x=−¹₂ znak pochodnej zależy tylko od znaku wyrażenia −4x−2 bo mianownik i czynnik x²+1 są stale dodatnie −4x−2<0 ⇔ −4x<2 ⇔ x>−¹₂ −4x−2>0 ⇔ −4x>2 ⇔ x<−¹₂ x∊(−∞;−¹₂) ⇒ f'()>0 ⇒ f(x) rosnąca x∊(−¹₂;+∞) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) malejąca drugie analogicznie