. Matura: Uzasadnij, że jesli trzy liczby naturalne a,b i c spełniają warunek a²+b²=c², to przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez 3.

Wazyl: Ponieważ kwadrat liczby naturalnej z dzielenia przez 3 daje resztę 0 lub 1 (udowodnij to) rozpatrzymy 2 przypadki: Jeżeli c jest podzielne przez 3 to teza jest spełniona. Załóżmy więc że c jest liczbą niepodzielną przez 3: c²=3k+1 (c² daje resztę 1 z dzielenia przez 3) Wtedy a² lub b² muszą być podzielne przez 3. Jeżeli by tak nie było obydwie dawałyby reszte z dzielenia przez 3 równą 1 czyli reszta sumy wynosiłaby 2. Wykazaliśmy że zawsze chociaż edna z liczb jest podzielna przez 3. Jeżeli kwadrat liczby jest podzielny przez 3 to liczba ta też jest podzielna przez 3. Można spróbować to stwierdzenie uogólnić do wszystkich liczb pierwszych i ich potęg. Więc w a któraś z liczb a,b jest podzielna przez 3

Waster: Wyszedłbym od założenia, że dowolna liczba naturalna do kwadratu przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 lub 1. Liczby naturalne będące bokami w trójkącie pitagorejskim to: {3x, 4x, 5x } lub {5x, 12x, 13x} x − naturalna wielokrotność tych liczb. Ale to jeszcze nie kończy zadania, gdyż nie mam pojęcia czy istnieją jeszcze inne liczby naturalne, których tu nie uwzględniłem.