dowód Carl: Wykaż że dla n∊N liczba postaci (n+2)⁴− n⁴ jest podzielna przez 16.

ICSP: na oko wzór a² − b².

Carl: 8(2n³ + 3n² + 4n + 2) dochodzę do takiej postaci i nie wiem co dalej

ICSP: Chcemy sprowadzić do iloczynu, więc wymnażanie nie ma najmniejszego sensu. (n + 2)⁴ − n⁴ = ( (n+2)² − n²)( (n+2)² + n²) = (n + 2 − n)(n + 2 + n)(n² + 4n + 4 + n²) = 2(2n + 2)(2n² + 4n + 4) = 8(n+1)(n² + 2n + 2) Wystarczy teraz pokazać, że 2 | (n+1)(n² + 2n + 2) Najprościej tak : (n+1) * [n(n + 2) + 2] = n(n+1)(n+2) + 2(n+1) jest podzielne przez 2 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 2, ponieważ n(n+1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, wśród takiego iloczynu zawsze znajdziemy dokładnie jedną liczbę parzystą, więc cały iloczyn dzieli się przez 2.

Prezesik: mi wyszlo 8(n³+3n²+4n+2) i dalbym odpowiedz, że co nie wstawie w nawias to bedzie to liczba parzysta, więc zawsze będzie podzielna przez 16, ale nie wiem czy to wystarczy

AS: A może tak (n + 2)⁴ − n⁴ = [(n + 2)² − n²]*[(n + 2)² + n²] = [n² + 4*n +4 − n²]*{n² + 4*n + 4 + n²] = 4*(n + 1)*(2*n² + 4*n + 4) = 8*(n + 1)(n² + 2*n + 2) = M Przypadek 1 n − parzyste czyli n ma postać n = 2*k gdzie k ∊ C Wtedy M = 8*(2*k + 1)*(4*k² + 4*k + 2) = 16*(2*k + 1)*(2*k² + 2*k + 1) Dla n parzystego jest podzielne przez 16 Przypadek 2 n − nieparzyste czyli n ma postać n = 2*k + 1 gdzie k ∊ C M = 8*(2*k + 1 + 1)*(...) = 16*(k + 1)*(...) Dla n nieparzystego jest podzielne przez 16