nierówności Kamaa: Rozwiąż nierówność : √x⁴−x² ≤ 4−x²

Metis: √x⁴−x² ≤ 4−x² Dziedzina: x⁴−x²≥0 x²(x²−1)≥0 x²(x−1)(x+1)≥0 x∊(−∞,−1] U [1,+∞) Podnoszę do kwadratu kiedy L i P są nieujemne. Zakładam: x⁴−x²≥0 i 4−x²≥0 x∊(−∞,−1] U [1,+∞) i x∊[−2, 2]. Część wspólna: x∊[−2,−1]U[1,2] Mamy założenia, rozwiązujemy. √x⁴−x² ≤ 4−x² /² |x⁴−x²|≤ (4−x²)² |x⁴−x²|≤ x⁴−8x²+16 Na podstawie definicji wartości bezwzględnej otrzymujmy dwie nierówności: 1) x⁴−x²≤x⁴−8x²+16 2) x⁴−x²≥−x⁴+8x²−16 1) x⁴−x²≤x⁴−8x²+16 x⁴−x⁴−x²+8x²−16≤0 7x²−16≤0 Liczymy delte, rysujemy układ, parabole i odczytujemy, że

	4		4
x∊ [−		,		]
	√7		√7

Usuwanie niewymierności pomijam. 2) x⁴−x²≥−x⁴+8x²−16 x⁴+x⁴−x²−8x²+16≥0 2x⁴−9x²+16≥0 Podobnie jak w 1) (wprowadź pomocniczą t, t>0) x∊R Konfrontujemy otrzymane odpowiedzi:

	4		4
1) x∊ [−		,		]
	√7		√7

2) x∊R oraz dziedzinę 3) x∊[−2,−1]U[1,2] Wyznaczamy część wspólną, która jest odpowiedzią końcową:

	4		4
x∊[		, −1] U [1,		]
	√7		√7

Metis:

	4		4
*x∊[−		, −1] U [1,		]
	√7		√7

mathieu: Najpierw założenia: x⁴−x²≥0 x(x−1)(x+1)≥0 x∊(−∞,−1)∪{0}∪(1,+∞) sqrt(x⁴−x²) ≤ 4−x² |² x⁴−x²≤x⁴−8x²+16 −7x²−16≥0 7x²≤16 x²≤16/7 x≤4√7/7 ∪ x≥−4√7/7 uwzględniając założenia: x∊(−4√7/7,−1)∪{0}∪(1,4√7/7)

mathieu: Widzę, że Metis mnie ubiegł

Kamaa: dziękuje bardzo

Metis:

Metis: Poprawiam błąd, który znalazłem dopiero teraz √x⁴−x²≤4−x² Dziedzina: x⁴−x²≥0 x²(x²−1)≥0 x²(x−1)(x+1)≥0 x∊(−∞,−1] ∪ [1,+∞) Podnoszę do kwadratu kiedy L i P są nieujemne. Zakładam: x⁴−x²≥0 i 4−x²≥0 x∊(−∞,−1] ∪ [1,+∞) i x∊[−2, 2]. Część wspólna: x∊[−2,−1]∪[1,2] Mamy założenia, rozwiązujemy. √x⁴−x²≤4−x² /² x⁴−x²≤(4−x²)² x⁴−x²≤x⁴−8x²+16 x⁴−x²−x⁴+8x²−16≤0 7x²−16≤0 Liczymy deltę, rysujemy układ,zaznaczamy miejsca zerowe, rysujemy parabole i odczytujemy, że

	4		4
x∊[−		,		]
	√7		√7

Usuwanie niewymierności pomijam. Konfrontujemy dziedzinę z otrzymaną odpowiedzią(wyznaczamy część wspólną),

	4		4
1) x∊[−		,		]
	√7		√7

2) x∊[−2,−1]U[1,2] otrzymując odpowiedź końcową:

	4		4
x∊[−		, −1] ∪ [1,		]
	√7		√7

==========================================