ciągi Zimowy:

	1
Znajdź wzór ogólny ciągu określonego rekurencyjnie: a1 =3 i an+1 =
	an

M:

Mariusz:

	1
a1 = 3, a2 =
	3

a_n+2 = a_n Jak ktoś lubi to niech rozwiązuje równaniem charakterystycznym Można też funkcją tworzącą Tutaj zwykła funkcja tworząca wystarczy A(x) = ∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=1^∞a_n+2xⁿ=∑_n=1^∞a_nxⁿ

1
	(∑n=1∞an+2xn+2) = ∑n=1∞anxn
x2

1
	(∑n=3∞anxn) = ∑n=1∞anxn
x2

∑_n=3^∞a_nxⁿ = x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ)

	1
∑n=1∞anxn − 3x −		x2 = x2(∑n=1∞anxn)
	3

	1
(1−x2)A(x) = 3x +		x2
	3

	1   3x + x2   3
A(x) =
	1−x2

1   3x + x2   3		Ax		Bx
	=		+
1−x2		1−x		1+x

	1
3x +		x2 = Ax(1+x) + Bx(1−x)
	3

	1
3 +		x = A(1+x) + B(1−x)
	3

	1
3 +		x = (A+B) + (A − B)x
	3

A+B = 3

	1
A−B =
	3

	10
2A =
	3

	5
A =
	3

	4
B =
	3

	5		x		4		(−x)
A(x) =		*		−		*
	3		1−x		3		1−(−x)

	5		4
A(x) =		(∑n=1∞xn) −		*(∑n=1∞(−1)nxn)
	3		3

	5		4
A(x) = ∑n=1∞(		−		(−1)n)xn
	3		3

	5		4
an =		−		(−1)n
	3		3

: Można od razu, bez jakichkolwiek rachunków:

	⎧	3 dla nieparzystych n
an =	⎨
	⎩	1/3 dla parzystych n