:) Cezio: Pytanko Czy każde równanie podniesione do kwadratu jest równoważne pierwotnemu?

vaultboy: niestety nie np. równanie x=1 jak podniesiemy do kwadratu to dostaniemy x²=1 otrzymaliśmy nowe rozwiązanie (x=−1), czyli te dwa równania nie są równoważne.

Maniek: chodzi ci ze (x+1)²=x+1 ?

Maniek: 4≠2

Cezio: Aa rozumiem. Pewnie trzeba dać jakieś założenia.

Gajwer: Jak liczba podniesiona do kwadratu może równać się liczbie pierwotnej?

Przemysław: Równanie, nie liczba np. czy x+1=2 ⇔ (x+1)²=2² Tak ja to rozumiem.

Cezio: Chodzi o równanie równoważne a nie o liczbę.

Przemysław: I jak już było wspomniane oczywiście nie jest tak.

Cezio: Tak. Chce podnieść np x+y=5 do potęgi drugiej i chce otrzymać równanie równoważne. Jakie założenia?

PW: Powstrzymaj się od takich chęci. W czym lepsze jest x²+y² + 2xy = 25 od tego co miałeś na początku? Prawdziwe jest tylko wynikanie: x + y = 5 ⇒ (x+y)² = 25, "w drugą stronę” to nie działa.

Cezio: Dziękuję PW. W sumie głupi przykład.

	4
Mam taki sinx+cosx=
	3

W odpowiedziach to podnoszą do kwadratu. Nie rozumiem tego od czego to zależy. Jakie macie metody?

Maniek: ale trzeba odjac wtedy 2sinxcosx

PW: A może wiadomo, że sinx i cosx są dodatnie (np. x jest katem ostrym)? To zmienia sposób rozumowania.

Cezio:

	4
Kąt x jest taki, że sinx+cosx=
	3

PW: No dobrze, a po co Ci równoważność? Spróbuj wynikania, zdanie

	9
(six + cosx)2 =
	16

jest w takim razie prawdziwe dla tej x.

Cezio: A mógłbym prosić o wytłumaczenie czym się różni wynikanie od równoważności?

PW: Nie męcz, teorię przeczytaj w podręcznikach. Rozwiązanie równania "metodą wynikania", zwana "metodą analizy starożytnych" polega na tym, że otrzymane w końcowym rezultacie liczby są tylko "kandydatkami na rozwiązania". Trzeba je podstawić do początkowego równania i sprawdzić, czy rzeczywiście są rozwiązaniami. W tym konkretnym zadaniu kłopot jest niewielki, są do sprawdzenia tylko dwie serie rozwiązań równania

	16
2sinxcosx =		− 1
	9

(tu muszę sprostować wpis z 19:03 − "przekręciłem w rozumie" licznik z mianownikiem). A w ogóle to mógłbyś w końcu podać treść zadania, bo tak "gdybamy".

Cezio:

	4
Kąt x jest taki, że sinx+cosx+		. Oblicz wartość wyrażenia sin3x+cos3x.
	3

PW: a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) Jak już wyżej pokazaliśmy

	7
2ab =
	9

	7
ab =		,
	18

a ponieważ a² + b² = 1, ostatecznie

	4		7
a3+b3 =		(1 −		).
	3		18

	4
Nigdzie nie występuje problem równoważności, po prostu korzystamy z założenia, że a+b =
	3

(jest to możliwe, taki kąt x istnieje, ale ani nie musimy go szukać, ani nawet zastanawiać się, czy założenie jest zdaniem prawdziwym.

Cezio: Dziękuję.