zadanko maturalne tojkaa:

	a+b		a
Udowodnij, że jeśli liczby a,b,c są dodatnie i a<b, to		>
	b+c		b

PW: Przy podanych założeniach dla dowolnej liczby c >0 prawdziwa jest nierówność:

	b − a		b − a
(0)		>
	b		b + c

(dodatnie liczniki są równe, prawa strona ma większy mianownik). Równoważne z (0) są następujące nierówności:

	a		b − a
1 −		>
	b		b + c

	a		b − a
−		>		− 1
	b		b + c

	a		a − b
		<		+1
	b		b + c

	a		a + c
(1)		<		.
	b		b + c

Skoro nierównośc (1) jest prawdziwa dla dowolnej c > 0, to w szczególności (biorąc c = b) też otrzymamy zdanie prawdziwe:

	a		a + b
		<		,
	b		b + c

co kończy dowód (o ile gdzieś nie oszukałem).

Gajwer:

a+b		a
	−		>0
b+c		b

b(a+b)−a(b+c)
	>0
b(b+c)

ab+b2−ab−ac
	>0
b2+bc

b2−ac
	>0
b2+bc

PW: Oszukałem w ostatnim wniosku − musiałoby być b > c, bo tylko w liczniku podstawiłem b zamiast c − jeżeli b > c, to prawdziwe są nierówności

	a		a + c		a + b
		<		<
	b		b + c		b + c

i dowód jest poprawny, ale co będzie, gdy b ≤ c?

Przemysław: Dla c=b będzie:

a		a+b
	<
b		b+b

a		a+b
	<
b		2b

2a<a+b a<b czyli prawda

Eta:

	1		1
a<b ⇒		>		/ *c
	a		b

c		c		c		c
	>		/+1 ⇒		+1>		+1
a		b		a		b

	c+a		c+b		a
		>		/*
	a		b		c+b

c+a		a
	>
c+b		b

c.n.u

PW: No tak, ale to i ja miałem, teza to

	a+b		a
		>
	b+c		b