Vax Benny: Vax, jak będziesz miał czas to zajrzyj. Mam zadanko dla Ciebie

Vax: Jestem. Przy okazji możesz wysyłać zadania od razu, jak wejdę to nie będę musiał odpisywać i czekać

Benny: Ze zbioru {1, 2, 3,..., n} losujemy kolejno bez zwracania k liczb, otrzymując ciąg (a₁, a₂, a₃,..., a_k). Wiedząc, że 3≤k≤n, oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: A − a_k jest największa liczbą wśród wylosowanych B − a_k jest podzielna przez 3

	1
C − a1+a2+...+ak>		k(k+1).
	2

Vax: A) Niech P(a_i) oznacza prawdopodobieństwo, że a_i jest maksymalną liczbą w danym ciągu, naturalnie ciągów w których a_i jest max jest tyle samo co ciągów w których a_j jest max (dla 1 ≤ i ≠ j ≤ n), bo z każdego ciągu w którym a_i jest max możemy dostać ciąg (zamieniając a_i z a_j) w którym a_j jest max i na odwrót. Skąd P( a_i ) = P( a_j ), czyli 1 =

	1
P(a1)+P(a2)+...+P(ak) = k*P(ak) ⇔ P(ak) =
	k

	n
B) Liczba liczb podzielnych przez 3 w zbiorze {1,2,...,n} wynosi [		] ([] to cecha).
	3

	n!
Liczba wszystkich k elementowych wariacji wynosi		, a liczba ciągów w których ak
	(n−k)!

	n		(n−1)!
jest podzielne przez 3 wynosi [		] *		(wybieramy ak jako liczbę
	3		(n−k)!

	n
podzielną przez 3 na [		] sposobów, a następnie dla każdego takiego ak dobieramy k−1
	3

	n
pozostałych elementów spośród wszystkich n−1), skąd dane prawdopodobieństwo wynosi [		] *
	3

	(n−1)!		(n−k)!		[n/3]
		*		=
	(n−k)!		n!		n

	k(k+1)
C) Policzmy prawdopodobieństwo, że a1+a2+...+ak =		= 1+2+3+..+k (z oczywistych
	2

powodów suma a₁+..+a_n nie może być mniejsza). Aby tak było {a₁,a₂,...,a_k} musi być permutacją {1, 2, ..., k}, których jest k!, a wszystkich wariacji k elementowych jest

	n!		(n−k)!		1
		, skąd dane prawdopodobieństwo wynosi k! *		=		, skąd
	(n−k)!		n!		n k

	1
ostateczny wynik to 1 −
	n k

Benny: Dzięki Muszę sobie teraz to ładnie poukładać i przeanalizować