Dowód Domka: Witam. Mam problem z takim zadaniem: Udowodnij, że jeśli 2b−a<0 , to 2b³−a³≤5ab²−4a²b.

Maniek: (2b−a)³<0

Maniek: ≤

Domka: Jak to zastosować do prawej strony nierówności?

Maniek: moze zacznij od rozpisania tego i skroc ?

Maniek: no i pamietaj ze (−1)³=−1 a (−1)²=1

Eta: (a−b)²≥0 i z założenia 2b−a<0 to: (a−b)²*(2b−a)≤0 ⇒ (a²−ab+b²)(2b−a)≤0 ⇒ 2b³−a³≤5ab²−4a²b c.n.u

Eta: Poprawiam chochlika ....... ⇒(a²−2ab+b²)(2b−a) ≤0

Domka: dziękuję bardzo

pigor: ..., no to metodą przekształceń równoważnych np. tak : (*) 2b−a< 0 i 2b³−a³ ≤ 5ab²−4a²b ⇒ 2b³−a³ ≤ 5ab²−4a²b ⇔ ⇔ 2b³− 5ab²+4a²b−a³ ≤ 0 ⇔ 2b³− ab²− 4ab²+2a²b+2a²b−a³ ≤ 0 ⇔ ⇔ b²(2b−a)− 2ab(2b−a)+a²(2b−a) ≤ 0 ⇔ (2b−a)(b²−2ab+a² ≤ 0 ⇔ ⇔ (2b−a)(b−a)² ≤ 0, stąd i z założenia (*) nierówność prawdziwa, a równość ma miejsce gdy a=b . c.n.u. ...