Koło Przemysław: W kole o promieniu 10 wybrano 99 punktów. Dowiesc, ze wewnatrz koła istnieje punkt odległy od kazdego z wybranych punktów o wiecej niz 1. Postulowany punkt oznaczam przez A. I − ity punkt wybrany mam teraz:

⎧	xA2+yA2≤10
⎩	xi2+yi2≤10

sprawdzam czy: √(x_A−x_i)²+(y_A−y_i)²>1 A więc: (x_A−x_i)²+(y_A−y_i)²>1 x_A²+x_i²+y_A²+y_i²−2x_Ax_i−2y_ay_i>1 I nie wiem, jak uzasadnić tę nierówność Będę wdzięczy za wszelką pomoc

Przemysław: .

Maniek: no x≥0 i y>0 ⋁ x>0 i y≥0

Przemysław: Ale które x?

Maniek: ja dalem ogolny zarys teraz pokombinuj

Maniek: chodzi o to ze x=0 i y>0 ∨ x>0 i y=0

Przemysław: Powiem tak, na pewno punkt nie leży na OX, ani na OY, bo wtedy musiałoby 0>1

Maniek: ale przeciez ≥ to tez =

Przemysław: A chwila, mój błąd

Maniek: a jak xA−xI≥0 i yA−y>0

Maniek: no

Przemysław: No nie wiem... Policzyłem, przy x_A=0 wyszło mi: y_A=y_i−√1−x_i lub y_A=y_i+√1−x_i Tylko nie wiem, jaki to ma sens, bo jasne że punkt szukany ma być zależny od punktów wybranych ale przecież nie może być dobierany dla każdego punktu wybranego osobno

Vax: Spróbuj do tego zabrać się trochę inaczej. Co będzie zbiorem punktów oddalonych od danego punktu o nie więcej niż 1? Ile wynosi pole tego czegoś? A ile może wynosić maksymalnie pole takiej figury dla wszystkich 99 punktów?

Przemysław: Taki zbiór to wtedy Pole koła o promieniu 10 − Pole koła o promieniu 1, prawda?

Maniek: a czemu nie oznaczysz sobie (xA−xi) jako a ⋀ (yA−yi) jako b i zrobisz zalozenia

Maniek: btw (xA≥xi ⋀ yA≥yi)

Vax: Jak zbiór punktów może być polem? Zbiorem punktów oddalonych od danego ustalonego punktu o co najwyżej 1 jest koło o środku w danym punkcie i promieniu 1, jego pole wynosi π

Przemysław: Tak, oczywiście, przepraszam, jakoś zastanawiałem się nad zbiorem punktów poza tym kołem

Maniek: co najwyzej albo i wiecej

Przemysław: Ale gdyby ten punkt leżał na brzegu koła na przykład to już nie byłoby koło...

Vax: Ok, to co możemy teraz zrobić skoro mamy 99 punktów? (ostatnie pytanie z wypowiedzi o 23:19)

Maniek: jak dla mnie to tu (xA−xi)²+(yA−yi)²>1 masz rozwiazanie tylko jeszcze musisz je pokazac

Vax: Ale w pytaniu które zadałem nie mamy nic o naszym kole. Pytanie brzmiało po prostu: Co będzie zbiorem punktów oddalonych od danego punktu o nie więcej niż 1?

Przemysław: Fakt

Maniek: chcesz wykazac falsz ale to sie robi tak samo tylko znak sie zmienia

Przemysław: Chodzi o figurę złożoną z tych wszystkich kół (po jednym kole na każdy z 99. punktów)?

Vax: Dobra, do czego dążymy: chcemy oszacować z góry pole figury będącej zbiorem punktów oddalonych o nie więcej niż 1 od każdego z 99 punktów. Skoro szacujemy z góry, to omijamy wszystkie przypadki gdy dane koła nachodzą na nasze duże itd, bo każde pole szacujemy od góry przez koło o promieniu 1. Ile wynosi nasze maksimum?

Vax: Tak.

Przemysław: 144π?

Maniek: (xA−xi)²+(yA−yi)²<1 (xA−xi)≥0 ⋀ (yA−yi)≥0

Vax: Nie, mamy 99 kół, każde o polu równym π, ile wynosi maksymalnie łączne pole?

Przemysław: 99π?

Przemysław: aha i można wcisnąć dokładnie jedno koło o promieniu 1?

Vax: Dokładnie A co możesz powiedzieć o polu naszego dużego koła (o promieniu 10) i jaki z tego wyciągasz wniosek?

Vax: Dokładnie odnosi się do postu z 23:38

Przemysław: Czyli pole dużego 100π, 100π−99π=π czyli starczy na jedno koło, ale to jest jakiś niespójny zbiór, to czy aby na na pewno to koło wejdzie?

Przemysław: Dobra, rozumiem już Dziękuję Wam bardzo

Vax: No właśnie to nie musi być koło, ale nie potrzebujemy aż tak wiele, chcemy przecież móc wcisnąć gdzieś tylko punkt..

Przemysław: No tak, bo ta figura, to była przestrzeń, w której nie może być naszego punktu i ona nie pokryła całości, tak?

Vax: Tak (tylko przestrzeń to trochę niefortunne sformułowanie btw ), Do takich zadań najczęściej nie ma co podchodzić analitycznie bo w ten sposób się tego nie rozwiąże. Jak sam zauważyłeś, nasz punkt zależy od położenia 99 innych, więc jeżeli nawet by się dało iść tą drogą, to wzory na współrzędne x_A, y_A musiałyby uwzględniać współrzędne x_i, y_i dla i = 1,2,...,99

Przemysław: Jeszcze raz dziękuję, to rozwiązanie jest piękne

Przemysław: Ale to musi być chyba przestrzeń metryczna, jeżeli mówimy o odległości?

Przemysław: Ale nie pomyślałem, że tak musi być jak pisałem, więc w sumie to niefortunnie trochę Dobra, ja na dzisiaj kończę matematykę Dobrej nocy!