Kombinatoryka trudne 5-latek: Zadanie z kombinatoryki a) Wyrazenie a₁a₂+a₁a₃+...a₁a_n+a₂a₃+a₂a₄+...+a₂a_n+.... +a_n−1a_n oznacza sume iloczynow wszystkich możliwych par które można utworzyć z liczb a₁,a₂,a₃ ,....a{n−1},a_n Ile skladnikow ma ta suma ? Wypisz te sume dla n=3 ,n=4 b) Rozwiaz analogiczne zadanie dla wszystkich możliwych trojek utworzonych z tych liczb c) Udowodnij wzor na kwadrat sumy n liczb (a₁+a₂+a₃+...... +a_n−1+a_n)²= a²₁+a²₂+a²₃+....+a²_n−1+a²_n+2(a₁a₂+a₁a₃+.....a₁a_n+a₂a₃++ .....a₂a_n+.....+a_n−1a_n) Suma dla n=3 będzie a₁a₂+a₁a₃+a₂a₃−−−3 składniki suma dla n=4 a₁a₂+a₁a₃+a₁a₄+a₂a₂+a₂a₄+a₃a₄ −−−− 6 skadnikow

5-latek: według mnie ilość skladnikow nie będzie V²_n gdyż w tej sumie nie ma a₂a₁ tylk jest od razu a₂a₃

5-latek: Wypiszmy to np. dla n=5 a₁a₂+a₁a₃+a₁a₄+a₁a₅+a₂a₃+a₂a₄+a₂a₅+a₃a₄+a₃a₅+a₄a₅−−−−−10 skladnikow n=6 a₁a₂+a₁a₃+a₁a₄+a₁a₅+a₁a₆ +a₂a₃+a₂a₄+a₂a₅+a₂a₆+a₃a₄+a₃a₅+a₃a₆+a₄a₅+a₄a₆ +a₅a₆ −−−−15 skaldnikow Obliczny np. dla n=6 k=2

	6!
V26=		=30
	4!

	6!		30
C26=		=		=15
	2*4!		2

Wiec dlaczego nie stosujemy tutaj wzoru na wariacje bez powtorzen ?

5-latek: b) a₁a₂a₃+ a₁a₄a₅+a₁a₆a₇ +a₁ (dalej nie wiem

5-latek: Wreacajac jeszcze do a ) to ta suma na C²_n skladnikow

prosta:

	n 2
a) stosujemy wzory na kombinację

nie jest istotna kolejność ( jest to suma iloczynów par a_ia_j takich, że i<j )

prosta:

	n 3
b) suma iloczynów wszystkich trójek( nieuporządkowanych) ma		składników

5-latek: dzięki A pomoz mi jeszcze rozpisać to b Myslalem ze pojdzie mi latwiej ale .....

prosta: c) ten wzór może indukcją względem n

prosta: b)

	3 3
dla n=3 : mamy		=1 składnik : a1a2a3

	4 3
dla n=4 mamy		=4 składniki: a1a2a3+a1a2a4+a1a3a4+a2a3a4

	5 2
dla n=5 mamy		=10 składników

5-latek: Natomiast co do c) znalazłem w książce taki wzor Twierdzenie : Wielomian x₁+x₂+x₃+....+x_m podniesiony do potęgi n(n − liczba naturalna ) wyraza się tzw . wzorem wielominowym Newtona (x₁+x₂+x₃+...x_m)ⁿ=n!∑U{x₁^p1*x₂^p2 *x₃^p3.......x_m^pm}{p₁!*p₂!*p₃!*.....p_m!} To jest ułamek tylko nie chce się dobrze zapisac

5-latek: Bardziej mi chodzilo o rozpisanie tego tego jak w podpunkcie a)

prosta: a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+a₁a₂a₅+a₁a₃a₄+a₁a₃a₅+a₁a₄a₅ a₂a₃a₄+a₂a₃a₅+a₂a₄a₅+a₃a₄a₅

5-latek: No bo tak a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+a₁a₃a₄+......+ a₁ i co żeby zakonczyc a₁

prosta: podobnie jak w a: a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+......a_n−2a_n−1a_n

prosta: a₁a_n−1a_n

prosta: ostatni składnik z a₁ to a₁a_n−1a_n

5-latek: Wlasnie o to mi chodzilo

5-latek: dziekuje Ci bardzo teraz za pomoc . Nuiestety znowu się zle poczułem i muszse odejść od komputera

5-latek: Jeszcze z tym podpunktem c jaby ktoś pomogl

5-latek: Powiem szczerze ze z indukcji tego nie potrafie

5-latek: Z tego wzoru z godz 18:22

	a21		a22		a23		a2n−1		a2n
mialbym tak 2!(		+		+		+....+		+		ale
	2!		2!		2!		2!		2!

dalej

5-latek: Kolego blad weź sobie melise na uspokojenie

Metis: Dobry wieczór 5−latku Zobacz, nawet przedszkole odwiedza to forum

Mila: (a1+a2+a3+a4+...an)²= =(a1+a2+a3+a4+...an)*(a1+a2+a3+a4+...an)= =a1*(a1+a2+a3+a4+...an)+a2*(a1+a2+a3+a4+...an)+... +an*(a1+a2+a3+a4+...an)= =a₁²+a₂²+a₃²+...a_n²+2a₁*a₂+2a₁*a₃+...+2a₍n−1)*a_n Przykład. (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

Mila: Zdrowiej, co to znowu grypa?

5-latek: Czesc Metis Chlopak chyba ma jakies kompleksy i postanowil je wyrzucić tutaj

5-latek: Nie Milu Cukier mi ostatnio skacze (nawet do 300

Mila: Dietka i nie stresuj się.

zyd: bez komentarza ....

5-latek: A po pracy nieraz mam 50−60

5-latek: Było to zadanie oznaczone jak trudne i ja doszukiwałem się innych problemów. Dziekuje CI bardzo

Mila: Dobranoc Bądź bardziej kwaśny niż słodki.

5-latek: Dobranoc Milu Slodkich snow ja naprawdę mało co jem slodkosci