Monotoniczność Czy jest jakiś geniusz: Zbadaj monotoniczność danego ciąg (an) gdzie n ∊ N+ następnie wyznacz najwiekszą liczbę a i najmniejszą liczbę b dla których każdy wyraz an spełnia warunek a≤an≤b a)an=2−n/n b)−5−2n/2+1 c) 2n−3/4(n+1)

Czy jest jakiś geniusz: tam przy b i c powinno być an

PW: Geniuszu, zapisz to poprawnie − ułamek pisze się jako U {licznik}{mianownik} (bez spacji po "U").

Czy jest jakiś geniusz:

	2−n
an=
	n

	−5−2n
an=
	2n+1

	2n−3
an=
	4(n+1)

PW:

2 − n		2
	= −1 +		− ciąg an jest sumą ciągu stałego i malejącego, jest więc malejący.
n		n

Dla skrupulatnych trzeba zbadać różnicę

	2		2		2		2
ak+1 − ak = (−1 +		) − (1− +		) =		−		=
	k+1		k		k + 1		k

	2(k − (k+1))		−2
=		=		< 0.
	k(k+1)		k(k+1)

Wydaje mi się, że ta skrupulatność jest przesadna, wystarczyłoby pierwsze zdanie.

Czy jest jakiś geniusz: następnie wyznacz najwiekszą liczbę a i najmniejszą liczbę b dla których każdy wyraz an spełnia warunek a≤an≤b a wiesz jak rozwiązać drugą część zadania

	2−n		2		2
a=		= −1 +		=		dąży do nieskonczoności i zostanie −1 a=−1
	n		n		n

ale nie rozumiem co mam zrobić dalej b=? ma wyjść b=1

PW:

	2
an = −1 +		jest ciągiem malejącym, więc oczywistą rzeczą jest, że największym jego
	n

wyrazem jest pierwszy wyraz:

	2
an ≤ a1 = −1 +		= 1.
	1

Jak łatwo zauważyć. w ciągu malejącym najmniejszego wyrazu nie ma. Dla wwystkich n a_n > −1 (bo żeby obliczyć a_n, do liczby −1 dodajemy dodatni ułamek). Mamy więc: (*) −1 < a_n ≤ 1. Liczba b = 1 jest najmniejszą z żądanych liczb ograniczających wyrazy ciągu "z góry", co jest oczywiste − jest po prostu jednym z wyrazów ciągu. Pozostaje pokazać, że liczba a = −1 nie da się powiększyć, jaet największym ograniczeniem wyrazów ciągu "z dołu". W tym celu trzeba pokazać, że dla każdej liczby większej od −1, oznaczmy ją a' = −1 + ε, gdzie ε > 0 istnieją wyrazy ciągu, które nierówności −1 + ε < a_n nie spełniają. Wykazanie pozostawiam Tobie.