4 zadania. NowyNowak: Dobry wieczór. Pomożecie z paroma zadankami? 1. Dane są 4 liczby, które zapisano w pewnej kolejności. Trzy początkowe tworzą ciąg geometryczny zaś 3 końcowe ciąg arytmetyczny. Suma liczb skrajnych jest równa 16 a środkowych 15. Wznacz te liczby. 2. Wykaż że:

(x+1)
	+ (yx + 1)y > 2
y

3. Trzy liczby, których suma jest równa 126 tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zwiększymy o 13 a trzecią zmniejszymy o 67, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

	(4n4 + 5)(n2 − 4n +7)
4. Oblicz granicę limn−>∞
	(2n4)(3n2+6n+1)

Podaj przybliżenie tej liczby z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Janek191: z.1 a,b,c,d a,b.c − ciąg geometryczny, więc b² = a*c b,c,d − ciąg arytmetyczny, więc c − b = d − c ⇒ 2 c = b + d oraz a + d = 16 ⇒ d = 16 − a b + c = 15 ⇒ c = 15 − b −−−−−−−−−−− b² = a*c = a*( 15 − b) 2 c = b + d = b + 16 − a ⇒ 2*(15 − b) = b − a + 16 Mamy b² = 15 a − a*b 30 − 2b = b − a + 16 ⇒ a = 3 b − 14 b² = 15*( 3 b − 14) − ( 3 b − 14)*b b² = 45 b − 210 − 3 b² + 14 b 4 b² − 59 b + 210 = 0 Δ = 3 481 − 4*4*210 = 3 481 − 3 360 = 121 √Δ = 11

	59 − 11		59 + 11		70		35
b =		= 6 lub b =		=		=
	8		8		8		4

	35		25
c = 15 − b = 9 lub c = 15 −		=
	4		4

	1225		25		49
a = b2 : c = 36 : 9 = 4 lub a =		:		=
	16		4		4

	49		15
d = 16 − a = 16 − 4 = 12 lub d = 16 −		=
	4		4

Mamy a = 4, b = 6, c = 9 , d = 12 ======================= lub

	49		35		25		15
a =		, b =		, c =		, d =
	4		4		4		4

==============================

Janek191: z.4

	( 4 n4 + 5)*( n2 − 4 n + 7)
an =		=
	2 n4*( 3 n2 + 6 n + 1)

	5   4   7   (4 + )*( 1 − + )   n4   n   n2
=
	6   1   2*( 3 + + )   n   n2

więc

	4*1		2
lim an =		=
	2*3		3

n→∞

Janek191: z.3 a , b, c − ciąg geometryczny, więc b² = a*c a + 13 , b , c − 67 − ciąg arytmetyczny, więc 2 b = a + 13 + c − 67 a + b + c = 126 ⇒ c = 126 − a − b −−−−−−−− b² = a*( 126 − a − b) 2b = a − 54 + 126 − a − b −−−−− 3 b = 72 b = 24 ===== 576 = a*c 48 = a + c − 54 ⇒ c = 102 − a −−−−− 576 = a*( 102 − a) 576 = 102 a − a² a² − 102 a + 576 = 0 Δ = 10 404 − 4*1*576 = 10 404 − 2 304 = 8 100 √Δ = 90

	102 − 90
a =		= 6 lub a = 96
	2

więc c = 126 − 6 − 24 = 96 lub c = 126 − 96 − 24 = 6 Odp. a = 6 , b = 24 , c = 96 lub a = 96, b = 24 , c = 6 ===========================================

Janek191: z.2 Wydaje mi się, że brakuje założeń : x > 0 i y > 0 x*( 1 + y³) + ( y − 1)² > 0 x + y³ x + y² − 2y + 1 > 0 x + 1 + ( y x + 1)*y² > 2y / : y

x + 1
	+ ( y x + 1)*y > 2
y

ckd.

Eta: 1/ z treści zadania szukane liczby to: a, b−r, b, b+r i b−r+b=15 ⇒ r=2b−15 to: a, 15−b, b, 3b−15 i a+3b−15=16 ⇒ a= 31−3b to: 31−3b, 15−b,b, 3b−15 trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny to: (15−b)²=b(31−3b) ⇒ 4b²−61b+225=0 Δ=121, √Δ=11

	25
b= 9 v b=
	4

I : 31−3*9, 15−9, 9, 3*9−15 ⇒ 4,6,9,12

	25		25		25		25
II : 31−3*		, 15−		,		, 3*		−15
	4		4		4		4

	49		35		25		15
		,		,		,
	4		4		4		4

kyrtap: Eta przebudzenie

Eta:

NowyNowak: Dzięki A co do zadania 2 to tak, zapomniałem napisać tam że x > 0 i Y > 0