Ekstremum bezendu: Hey, potrzebuję pomocy z jednym przykładem, wczoraj już to chyba ktoś wstawiała ale ja nie mogę tego rozwiązać i nie wiem gdzie jest błąd. Oblicz ekstremum warunkowe funkcji f(x,y)=x²+y² Przy warunku g(x,y)=x²+y²=−16 F(x,y)=x²+y²+λ(x²+y²−16) F(x,y)=x²+y²+λx²+λy²−16λ

∂F
	=(x2+y2+λx2+λy2−16λ)'=2x+2xλ
∂x

∂F
	=(x2+y2+λx2+λy2−16λ)'=2y+2yλ
∂y

U{{∂F}{∂λ}=(x²+y²+λx²+λy²−16λ)'=x²+y²−16 Tworzę układ równań: 2x+2xλ=0 2y+2yλ=0 x²+y²−16=0 Wychodzą punkty P₁=(0,4−1) P₂=(0,−4,−1) P₃=(4,0,−1) P₄=(−4,0,−1)

∂g
	=(x2+y2−16)'=2x
∂x

∂g
	=(x2+y2−16)'=2y
∂y

∂2F
	=(2x+2xλ)'=2+2λ
∂x∂x

∂2F
	=(2x+2xλ)'=0
∂y∂x

∂2F
	=(2y+2yλ)'=0
∂x∂y

∂2F
	=(2y+2yλ)'=2+2λ
∂x∂y

Cdn w dalszym poście

bezendu: Tworzę hesjan(ogólny) z obliczonych pochodnych cząstkowych |0 2x 2y | H= | 2x 2+2λ 0 | | 2y 0 2+2λ | Dla punktu P₁=(0,4,−1) | 0 0 −8| H(P₁)= |0 0 0 | | 8 0 0 | W(P₁)=0 ⇒brak ekstremum warunkowego a w odpowiedzi widnieje, że w tym punkcje funkcja osiąga maksimum, zresztą reszta punktów też mi się nie zgadza..

bezendu: Pomoże ktoś ?

Qulka: wszędzie powinno być +16

bezendu: Qulka ja źle przepisałem warunek, ale dalej dobrze liczę Warunek x²+y²=16

bezendu: I tak nadal wychodzi błąd.

Qulka: a na pewno treść dobrze bo w działaniach błędu nie widzę

bezendu: http://pokazywarka.pl/90p31f/

bezendu: Czyli błąd w odpowiedzi ?

Qulka: a jakie masz odpowiedzi?

Qulka: ale na logikę to ekstremów tam brak

bezendu: W linku są odpowiedzi 2)

Qulka: tak naprawdę dla λ=−1 jest nieskończenie wiele punktów podejrzanych o ekstremum

bezendu: Ale zobacz w odpowiedzi jaki są podane punkty... W obliczeniach błędu nie ma. A dwa muszę rozważać konkretne punkty które wyszły w wyniku rozwiązaniu układu równań.

Qulka: z rozwiazania tego układu dla λ=−1 wychodzi nieskończenie wiele punktów może przeanalizuj jeszcze ten sposób https://www.youtube.com/watch?v=kgg0RG0ukTg

bezendu: Tylko jest jeden drobny problem, w metodzie lagrange'a +λ(warunek) na filmiku daję −

Przemysław: Może być + albo − to nic nie zmieni (tzn tylko λ będzie inna, ale punkty te same)

bezendu: Zmieni pochodna po x wyjdzie 2x−2λx po y ... 2x−2λx=0 x=0 λ=1 i wtedy hejsny od poszczególnych punktów ulegną zmianie.

Qulka: jak wstawisz λ to ci wyjdą te same bo znak λ masz inny dlatego o tym nie pisałam

bezendu: Tylko to by było bez sensu, bo skąd wiedzieć jaki znak dać ? Dwa na egzaminie nie będę miał odpowiedzi..

Przemysław: Ale określoność się raczej nie powinna zmienić.

Qulka: wyjdzie Ci z rozwiązania układu równań teraz u Ciebie wyszło Ci λ=−1 jakbyś miał minus od początku wyszłoby Ci λ=1 a reszta na końcu i tak wstawiasz wyniki więc wyjdzie to samo

bezendu: Ale +λ też powinno wyjść. Wiem, że jestem uparty itp ale w każdej książce podawane jest +λ

Qulka: http://imif.utp.edu.pl/mmusielak/am2.pdf

Qulka: str 4

bezendu: Dzięki, zaraz przeliczę inny przykład z − i ciekawe czy mi wyjdzie

bezendu: Nie działa z minusem, f(x,y)=x²+y²+xy−1 Warunek x+y−1=0 Z plusem wychodzi poprawnie z minusem wychodzi inny punkt.

Przemysław: A jaki punkt Ci wychodzi?

bezendu: Nie będę marnował Waszego czasu, za dużo pisania żeby to wszystko rozpisywać, pójdę na konsultację pod wieczór. Dziękuję za pomoc

Przemysław: Ja tak liczyłem: x²+y²+xy−1, x+y−1=0 L=x²+y²+xy−1− λ(x+y−1) L'_x,2x+y−λ=0 L'_y,2y+x−λ=0 λ= 2x+y = 2y+x y=x x+y−1 = 0 2x−1=0

	1
x=y=
	2

L''_xx=2 L''_yy=2 L''_xy=1 2 1 1 2 Dodatnio określone min warunkowe Jeszcze wrzucę od razu, bo już napisałem. Może mam gdzieś błąd...

bezendu: Taki układ równań masz: 2x+y−λ=0 2y+x−λ=0 −x−y+1=0 ⇒y=−x+1 2x+(−x+1)−λ=0 2(−x+1)+x−λ=0 x−λ=−1 −x−λ=2 / (−1) x−λ=−1 x+λ=−2 2x=−3 x=−1,5 to już źle bo w odpowiedzi jest P₁=(0,5,....) więc x nie może wyjść −1,5

Przemysław: Własnie nie: −x−y+1=0 Tylko x+y−1

Przemysław: Ups, miało być x+y−1=0

bezendu: skoro masz −λ to −λx−λy+λ Pochodna po λ=−x−y+1 Sprawdź dobrze

Przemysław: Na ćwiczeniach miałem podane z − i było do układu równań: pochodne po x,y,itd (bez λ) i warunek ograniczający A na wykładzie z + i układ to były pochodne po kolei

bezendu: A ja miałem właśnie z + i do układu również brana była pochodna po λ. Sprawa dla wykładowcy

Przemysław: Czyli się zgadza, bo u mnie jak z + to też z pochodną po λ, tylko jak z − to bez

bezendu: Ale dla mojego układu się nie zgadza. Bo wychodzi punkt x=−1,5 Poczekaj do 19 to napiszę wersję potwierdzoną

Przemysław:

	1		1
Mi wyszło (		,		) nie wiem, czy tak jest w odpowiedziach
	2		2

bezendu: Właśnie tak jest w odpowiedzi, ale jak ja robiłem − i liczyłem pochodną po λ to nie wychodzi.

Przemysław: To spróbuję z plusem jeszcze, zaraz postaram się napisać

bezendu: Nie rób ! z plusem wychodzi poprawnie ! Chciałem sprawdzić czy ten wzór z minusem działa, a tu guzik bo wychodzi całkiem inaczej..

Przemysław: x2+y2+xy−1, x+y−1=0 L=x2+y2+xy−1+ λ(x+y−1) L'x,2x+y+λ=0 L'y,2y+x+λ=0 L'_λ,x+y−1=0 λ= −(2x+y) = −(2y+x) 2x+y=2y+x x=y x+x−1=0 2x=1

	1
x=		=y
	2

Przemysław: ops.. Tzn. z minusem jak policzysz pochodna po λ to chyba nie ma prawa zadziałać, ale może się mylę.

bezendu: A wracając do pierwszego postu to musi być + http://pl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCniki_Lagrange%E2%80%99a

Przemysław: x2+y2+xy−1, x+y−1=0 L=x2+y2+xy−1− λ(x+y−1) L'x,2x+y−λ=0 L'y,2y+x−λ=0 L'λ,−x−y+1=0 y=−x+1 2x−x+1−λ=0 2−2x+x−λ=0 x+1=λ 2−x=λ x+1=2−x 2x=1

	1
x=
	2

	1		1
y=−x+1=−		+1=
	2		2

A jednak się myliłem!

Przemysław: Z minusem wychodzi to samo

bezendu: Qulka liczyłem z − to pierwsze zadania jeszcze raz, punkty wyszły te same. Byłem również u wykładowcy słynnego Sko... powiedział, że pierwszy raz widzi taki sposób liczenie ekstremum warunkowego, tłumaczył mi inne sposoby ale tego nie mógł pojąć

bezendu: vax ?

b.: 1. Zadanie jest trywialne, funkcja f przy zadanym warunku jest stała, więc zależnie od definicji ekstremum warunkowego jest ich nieskończenie wiele lub nie ma żadnego. Używanie mnożników Lagrange'a i badanie formy nie doprowadzi do niczego, takie metody nie działają dla funkcji stałych. 2. Tak jak już różne osoby pisały, nie ma znaczenia, czy się bierze +λ, czy −λ. Podobnie, f(x)=−ax−b, gdzie a,b rzeczywiste, jest ogólną postacią funkcji liniowej z R do R, mimo że takiego wzoru raczej się nigdzie nie znajdzie. 3. Metoda z tą macierzą 3x3 wygląda podejrzanie, co wpisujesz w LG rogu, zawsze 0? Jaka jest interpretacja wyznacznika −− zerowy to brak ekstremum? A jak niezerowy?

b.: Ok, metoda chyba rozstrzyga istnienie ekstremum warunkowego, gdy ten wyznacznik jest różny od 0. Ale gdy jest równy 0, to nie rozstrzyga.

bezendu: Jeśli wyznacznik jest zerowy brak ekstremum, >0 maksimum, <0 minimum

52: bezendu a to nie idzie tak: Jeśli wyznacznik >0 to jest ekstremum Jeśli wyznacznik >0 to nie ma ekstremum Jeśli wyznacznik=0 to nie wiadomo czy jest ekstremum Jeśli minimum to f_xx>0 (lub f_yy>0) Jeśli maksimum to f_xx<0 (lub f_yy<0)

b.: Wyznacznik zerowy nie daje informacji o braku ekstremum, poza tym OK. @52: to jest inna metoda, tutaj jest tak jak bezendu napisał.

bezendu: b ale zauważ, że sposób działa dla innych przypadków, poza tym w książce są podane odpowiedzi do zadania, mimo iż widać, że nie ma ekstremum warunkowych.

b.: Co do sytuacji z niezerowym wyznacznikiem zgoda, ale gdy wyznacznik jest zero, to nic nie wiadomo. To tak jak z ekstremami funkcji jednej zmiennej, jak f'(x)=f''(x)=0, to nie wiadomo, czy w x jest ekstremum.

bezendu: Dobrze, wtedy przypadek nieokreślony i się z tym zgodzę, więc wychodzi, że dla tej funkcji nie możemy określić ekstremum warunkowych ? Tym bardziej dziwi mnie odpowiedź, według której funkcja osiąga w dwóch punktach maximum i w dwóch minimum.

Kacper: Wniosek? Odpowiedzi też są czasem błędne

bezendu: Ok, dzięki. Cały czas myślałem, że ja coś źle liczę, ale jednak ja mam rację

b.: > dla tej funkcji nie możemy określić ekstremum warunkowych Nie możemy taką metodą, ale możemy bardzo łatwo bezpośrednio.

bezendu: Jaką ?

b.: napisałem w poście z 24 kwi 23:53