całka Lukas: Potrafi ktoś pomóc Oblicz zbieżność całki niewłaściwej ∞

	1
∫		dx ?
	x2+√x

1

Ditka: całka niewłaciwa: podstawienie x=t² dx=2tdt

	1		2tdt		dt
∫		dx=∫		=2∫
	x2+√x		t4+1		t3+1

korzystając ze wzoru a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) mamy do policzenia

	dt
2∫
	(t+1)(t2−t+1)

funkcję podcałkową przedstawiamy w postaci sumy ułamków prostych

1		A		Bt+C
	=		+
(t+1)(t2−t+1)		t+1		t2−t+1

po obliczeniach A=¹₃ B=⁻¹₃ C=²₃ i mamy teraz

	dt		t		dt
23∫		−23∫		dt+43∫		=
	t+1		t2−t+1		t2−t+1

	2t−1+1		dt
23ln(t+1)−13∫		dt+43∫		=
	t2−t+1		t2−t+1

	2t−1		dt
23ln(t+1)−13∫		dt+∫		=
	t2−t+1		t2−t+1

	dt
23ln(t+1)−13ln(t2−t+1)+∫
	t2−t+1

ostatnia całka po podstawieniu

	√3
t−12=		u
	2

	√3
dt=		du
	2

	2
u=		(t−12) ma postać
	√3

	√32du		2√3		du
∫		=		∫
	34u2+34		3		u2+1

2√3		2√3		2t−1
	arctgu=		arctg(		)
3		3		√3

czyli mamy wynik

	2√3		2t−1
23ln(t+1)−13ln(t2−t+1)+		arctg(		)
	3		√3

wracając do x mamy i całki niewlaciwej mamy do policzenia

	2√3		2√x−1
lim[23ln(√x+1)−13ln(x−√x+1)+		arctg(		)]1v=
	3		√3

v→∞

	(√v+1)2		2√3		2√v−1		√3
=lim(13ln		+		arctg		)−13ln4−		π=
	v−√v+1		3		√3		9

	(√v+1)3		2√3		2√v−1		√3
=lim(13ln		+		arctg		)−13ln4−		π=
	√v3+1		3		√3		9

	2√3		√3
=13ln1+		π2−13ln4−		π=29π√3−13ln4
	3		9

Ditka: w pierwszej linijce chciałam napisać całka nieoznaczona