pomocy matematyk: Liczby naturalne od 1 do 101 zapisane po kolei tworzą w ten sposób liczbę. Rozstrzygnij, czy ta liczba jest złożona. Czy jest ona kwadratem pewnej liczby naturalnej?

Mila: 1) Oblicz sumę cyfr tej liczby. 2) potem wyjaśnię.

matematyk: 5151

PW: Cechy podzielności. S₀ = S(1,2,,..,9,10) = 46 S₁ = S(11,12,...,19, 20) = S₀ + 10 (sumujemy nie liczby, ale ich cyfry) s₂ = S(21,22,...,29,30) = S₀ + 2·10 itd. Celuję na podzielność przez 3, jeżeli nie mam dobrej intuicji, to trzeba myśleć o innych cechach.

PW: Jak zwykle nie zdążyłem, zanim zapisałem, to oni już wiedzą .

( ͡° ʖ̯ ͡°): Liczba jest podzielna przez 3 jeśli suma jej licz jest podzielna przez 3. 5151/3 = 1717 czyli nie jest liczba naturalna

matematyk: dziękuję za pomoc

Mila: Suma cyfr jest inna. Obliczyłeś chyba sumę liczb od 1 do 101. Masz taka liczbę: 1234567891011121314......99100101 suma cyfr liczb jednocyfrowych to 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 suma cyfr liczb dwucyfrowych to....

matematyk: tak wiem, suma cyfr jest 903 i też jest podzielna przez 3

Mila: Dobrze. 1) jest to liczba złożona bo jest podzielna przez 3. 2) Liczba ta nie może być kwadratem liczby naturalnej bo musiałaby być podzielna przez 9. Pomyśl nad tym.

matematyk: dziękuję za pomoc

Mila: Dobrze. 1) Liczba ta jest liczbą złożoną ponieważ jest podzielna przez 3. 2) Liczba ta nie może być kwadratem liczby naturalnej, gdyż dzieli przez 3 a nie dzieli się przez 9. Pomyśl .

Benny: Ogólnie Milu, jeśli suma cyfr pewnej liczby jest podzielna przez kwadrat liczby naturalnej to ona sama jest kwadratem jakiejś liczby?

matematyk: nie rozumiem za bardzo tego 2. pkt

Mila: Nie można takiego wniosku wyciągnąc, ale obalić tw. można. To działa w jedną stronę. Gdyby liczba była kwadratem pewnej liczby naturalnej to dzieliłaby się nie tylko przez 3 ale i przez 9. (3k)²=9k² Suma cyfr liczby 27 jest podzielna przez 9 ale nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Benny: Czyli jest jakiś warunek konieczny i wystarczający, aby dana liczba była kwadratem pewnej liczby naturalnej?