funkcja student: y=5x+sinx Wyznaczyć przedziały monotoniczności tej funkcji.

student: ?

Bogdan: a student zna pojęcie pochodnej funkcji?

PW: Normalnie − pochodną liczysz i oceniasz gdzie dodatnia.

student: wyznaczyłem pochodną y=5x−cosx pochodna y=5+sinx i dalej nie wiem co ?

J: pochodna: y = 5 + cosx , teraz ustal przedziały , gdzie pochodna jest dotatnia , a gdzie ujemna

5-latek: y'=(5x)'+(sinx)' y'= 5+cosx

student: funkcja jest y=5x−cos(x) pochodna y=5x+sinx Ale jak ustalić te przedziały, jak ją narysować ?

student: hmm ?

J: student ... oprzytomniej i nie mieszaj ... pochodna: y = sinx + 5 ... masz jej wykres ... jaki ma znak ta pochodna

student: pochodna>0

J: dla jakich x ?

student: dla x∊R ?

student: ?

J: OK ... skoro w pochodna jest dotania w całej dziedzinie, to w całej dziedzinie funkcja jest ... ?

student: Funkcja jest rosnąca Masz jeszcze chwilkę ?

J: co jest ?

student: Mam jeszcze kilka zadań i potrzebuję pomocy

student: . Naszkicuj wykres funkcji i omów jej własności (dziedzina, monotoniczność, ekstrema lokalne, granice na końcach przedziałów określoności, miejsca zerowe) a) f(x)=e^x D=R Brak miejsc zerowych funkcja rosnąca dla x∊R granice na końcach przedziałów ? ekstrema lokalne:brak ?

J: lim_{x→ − ∞}e^x = 0 lim_{x→ + ∞}e^x = + ∞

student: b) f(x)=e^−x D=R Brak miejsc zerowych funkcja malejąca Brak ekestremów lokalnych granice na krańcach przedziału ? lim_x→∞e^−x=0 lim_x→−∞e^−x=∞ ?

J: tak

student: c) f(x)=e^2x D=R Miejsca zerowe:brak ekstremum lokalne:brak funkcja rosnąca dla x∊R lim_x→∞e^2x=∞ lim_x→−∞e^2x=0 ?

J: tak

student: d) ) f(x)=e^x−2 D=R Miesjca zerowe:brak ekstremum lokalne brak funkca rosnąca dla x∊R lim_x→∞e^x−2=∞ lim_x→−∞e^x−2=0 ?

J: tak

student: Teraz zaczną się moje kłopoty e) f(x)=lnx Miejsca zerowe (1,0) Ekstremum lokalne ?

	1
y=lnx y'=
	x

1
	=0 ?
x

Funkcja rosnąca i granice też problem

J: patrz na wykres: D = R₊ Miejsce zerowe: x = 1 Funkcja rosnąca Brak ekstremów Granice: − ∞ , + ∞

student: f) f(x)=ln|x| Miejsca zerowe (−1,0) (,1,0) Ekstremum brak ? Funkcja jest ? granica ?

J: monotoniczna w przedziałach

student: rosnąca od (0,∞) Malejąca (−∞,0) ekstrema i granice ?

J: a jak myslisz ?

student: nie wiem właśnie

J: przecież masz wykres przed oczami

student: x→−∞=∞ x→∞=∞ ekstremum lokalne ?

J: ekstremum brak ... a co gdy x → 0 i co z asymptotami ?

student: x→0=−∞

student: g) f(x)=lnx² malejąca od (−∞,0) rosnąca od (0,∞) miejsca zerowe (−1,0) (1,0) ekstremum brak ?

student: ?

student: up up

student: ?

J: Dziedzina ? Asymptoty ?

student: D=R asymptota x=0

student: h) ln(x −3) . D=R MZ=(4,0) funkcja rosnąca ekstremum lokalne brak lim_x→∞=∞ lim_x→−∞=−∞

student: ?

J: zła dziedzina asymptota ?

J: 12:32 ... też zła dziedzina

student: 12:32 zła dziedzina ? 12:35 asymptota x=3 Dziedzina też nie wiem

J: 12:32 .. przecież x = 0 nie należy do dziedziny 12:35 .. warunek: x − 3 > 0 ⇔ x > 3 , czyli: D = ?

student: 12:32 D=R\{0} 12.35 D=(3.∞)

J: tak

student: ok, jeszcze dwa zadania dosłownie Dla jakich wartości parametru a funkcja f (x) x³−ax²+5x ma w punkcie x =11 lokalne ekstremum? Jakie to jest ekstremum? Wyznacz przedziały monotoniczności tej funkcji.

J: licz pochodną

student: f'(x)=3x²−2ax+5 tam ba być w punkci x=1 jak coś

J: teraz warunek: f'(1) = 0

student: 3−2a+5=0 2a=8 a=4 f(x)=x³−4x²+5x liczę pochodną i określam monotoniczność ?

J: pochodna: f'(x) = 3x² − 8x + 5 teraz naszkicuj pochodną ... z wykresu odczytamy ekstrema i monotoniczność

student:

J: gdzie się pochodna zeruje ?

student: x=1

	5
x=
	3

J: dobra , tam mogą być ekstrema ( to warunek konieczny) .. czy pochodna zmienia znak w tych punktach ( warunek wystarczający) , a jeśli tak, to jak ?

student:

J: nie ... (−∞,1) f'(x) > 0 ... funkcja jest ...? (1;3.5) f'(x) < 0 ... funkcja jest.. ? (3.5;+∞) f'(x) >0 funkcja jest ?

J: tam ma byc oczywiście 5/3 , anie 3.5

student: malejąca rosnąca malejąca jak ekstremum teraz odszukać ?

J:

	5
skup się: −∞ ... rosnąca ... 1 ..... malejąca ...		.... rosnąca .... + ∞
	3

wnioski ?

student: podałem przedziały monotoniczniści ekstremum brak ?

J: rusz głową ... jesli funkcja rośnie do x = 1 , a potem maleje , to dla x = 1 osiaga ?

J: widzisz to ?

student: dla x=1 osiąg maximum lokalne

J:

	5
a dla x =		?
	3

student: minimum lokalne. czy przedziały montonicznośc dobrze wyznaczyłem ?

J: patrz na wykres ... gdzie rosnie, gdzie maleje

student: ale który wykres, bo są dwa wykresy

J: wykres funkcji ( bo to jej monotonicznośc badasz ) ... wykres ( przyblizony) 14:10

student: (−∞,1) rosnąca

	5
(1,		malejąca
	3

	5
(		,∞) rosnąca
	3

J: nareszcie

student: Dzięki